高中数学 第二章 平面向量测评 新人教A版必修4.doc

第二章 平面向量(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016山东淄川一中阶段性检测)若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角是135,则mn=()a.12b.122c.-122d.-12解析:mn=|m|n|cos 135=46cos 135=-122,故选c.答案:c2.已知平面内不共线的四点o,a,b,c满足ob=13oa+23oc,则|ab|bc|=()a.13b.31c.12d.21解析:由ob=13oa+23oc,得13(oa-ob)=23(ob-oc),即13ab=23bc,所以|ab|=2|bc|.故|ab|bc|=21.答案:d3.已知a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+b)(2a-c)=()a.10b.14c.-10d.-14解析:a+b=(-2,2),2a-c=(2,-4)-(3,2)=(-1,-6),(a+b)(2a-c)=-2(-1)+2(-6)=-10.答案:c4.向量ba=(4,-3),向量bc=(2,-4),则abc的形状为()a.等腰非直角三角形b.等边三角形c.直角非等腰三角形d.等腰直角三角形解析:ac=bc-ba=(-2,-1),acbc=(-2)2+(-1)(-4)=0,acbc.又|ac|bc|,abc是直角非等腰三角形.答案:c5.(2016河南郑州高一期末)平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),若ab,则x等于()a.4b.-4c.-1d.2解析:平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),且ab,1x-(-2)(-2)=0,解得x=4.故选a.答案:a6.若a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),且c=ma+nb,则m,n的值分别是()a.2,5b.-2,-5c.2,-5d.-2,5解析:c=ma+nb,(9,4)=m(2,-3)+n(1,2)=(2m+n,-3m+2n).2m+n=9,-3m+2n=4.m=2,n=5.答案:a7.平面向量a与b的夹角为60,|a|=2,b=12,32,则|a+2b|=()a.3b.23c.4d.12解析:b=12,32,|b|=1.由已知得ab=|a|b|cos =2112=1.|a+2b|=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=4+4+4=23.答案:b8.(2016辽宁实验中学分校段考)若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为()a.6b.3c.23d.56解析:|a+b|=|a-b|=2|a|,|a+b|2=|a-b|2,两边平方可得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,化简可得ab=0.设向量a+b与a的夹角为,则可得cos =(a+b)a|a+b|a|=a2+ab|a+b|a|=|a|22|a|2=12,又0,故=3.答案:b9.已知oa=(-2,1),ob=(0,2),且acob,bcab,则点c的坐标是()a.(2,6)b.(-2,-6)c.(2,-6)d.(-2,6)解析:设c(x,y),则ac=(x+2,y-1),bc=(x,y-2),ab=(2,1).由acob,bcab得-2(x+2)=0,2x+y-2=0,解得x=-2,y=6.点c的坐标为(-2,6).答案:d10.如图,过点m(1,0)的直线与函数y=sin x(0x2)的图象交于a,b两点,则om(oa+ob)等于()a.1b.2c.3d.4解析:设n(2,0),由题意知oa+ob=on,om(oa+ob)=omon=(1,0)(2,0)=2.答案:b11.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中正确的个数是()存在实数x,使ab;存在实数x,使(a+b)a;存在实数x,m,使(ma+b)a;存在实数x,m,使(ma+b)b.a.0b.1c.2d.3解析:ma+b=m(x,3)+(-3,x)=(mx-3,x+3m),又b=(-3,x),-3(x+3m)=x(mx-3),即m(x2+9)=0,存在m=0,对任意的实数x,使(ma+b)b.答案:b12.导学号08720079(2016吉林延边二中检测)设o是平面上一定点,a,b,c是平面上不共线的三点,动点p满足op=oa+ab|ab|cosb+ac|ac|cosc,0,+),则点p的轨迹经过abc的()a.外心b.内心c.重心d.垂心解析:op=oa+ab|ab|cosb+ac|ac|cosc,ap=ab|ab|cosb+ac|ac|cosc.又bcab|ab|cosb+ac|ac|cosc=-|bc|+|bc|=0,bc与ab|ab|cosb+ac|ac|cosc垂直,即apbc,点p在bc的高线上,即p的轨迹过abc的垂心,故选d.答案:d二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016陕西渭南阶段性测试)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为23,则a在b方向上的投影为.解析:根据数量积的几何意义可知,a在b方向上的投影为|a|与向量a,b夹角的余弦值的乘积,a在b方向上的投影为|a|cos23=2-12=-1,a在b方向上的投影为-1.答案:-114.(2016山东临沂期中联考)设x,yr,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=.解析:向量a=(x,1),c=(2,-4),且ac,x2+1(-4)=0,解得x=2,得a=(2,1),又b=(1,y),c=(2,-4),且bc,1(-4)=y2,解得y=-2,得b=(1,-2),由此可得a+b=(2+1,1+(-2)=(3,-1).|a+b|=32+(-1)2=10.答案:1015.若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为12,则与的夹角的取值范围是.解析:根据题意得|sin =12.又|=1,|1,12sin 1,656.答案:6,5616.已知梯形abcd中,ad=1,ab=2,dab=3,dcab,若de=dc,则当aebd=-34时,=.解析:由已知得ae=ad+de=ad+dc=ad+12ab,bd=ad-ab,aebd=ad+12ab(ad-ab)=ad2-adab+12abad-12ab2=-34,由已知得1-1+12-2=-34,-32=-34,=12.答案:12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2016山西曲沃中学高一期末)已知a=(2,1),b=(-3,-4),c(a-b).(1)求2a+3b,|a-2b|;(2)若c为单位向量,求c的坐标.解:(1)a=(2,1),b=(-3,-4),2a+3b=(-5,-10),a-2b=(8,9),|a-2b|=145.(2)设c=(x,y),则x2+y2=1,a=(2,1),b=(-3,-4),a-b=(5,5).又c(a-b),5x+5y=0,y=-x,解得x=22,y=-22或x=-22,y=22.c=22,-22或c=-22,22.18.(本小题满分12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=7.(1)求a,b的夹角;(2)求|3a+b|的值.解:(1)由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12ab+4|b|2=7,又|a|=1,|b|=1,代入得ab=12.|a|b|cos =12,即cos =12.0,=3.向量a,b的夹角=3.(2)由(1)知,(3a+b)2=9|a|2+6ab+|b|2=9+3+1=13,|3a+b|=13.19.(本小题满分12分)已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,(1)ka-b与a+b共线;(2)ka-b与a+b的夹角为120.解:a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2).a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)ka-b与a+b共线,k+2-(-k)=0,解得k=-1.(2)|ka-b|=k2+(k+2)2,|a+b|=12+(-1)2=2,(ka-b)(a+b)=(k,k+2)(1,-1)=k-k-2=-2,而ka-b与a+b的夹角为120,cos 120=(ka-b)(a+b)|ka-b|a+b|,即-12=-22k2+(k+2)2,化简,整理得k2+2k-2=0,解之得k=-13.20.(本小题满分12分)已知o为坐标原点,点a(1,0),点b(x,2).(1)求|ab|;(2)设函数f(x)=|ab|2+oaob,求函数f(x)的最小值及相应的x的值.解:(1)由已知条件得:|ab|=(x-1)2+(2-0)2=x2-2x+5.(2)f(x)=|ab|2+oaob,oaob=x,f(x)=x2-2x+5+x=x2-x+5=x-122+194,当x=12时,函数f(x)取最小值194.21.(本小题满分12分)已知线段pq过oab的重心g,且p,q分别在oa,ob上,设oa=a,ob=b,op=ma,oq=nb.求证:1m+1n=3.证明:如图所示,od=12(oa+ob)=12(a+b),og=23od=13(a+b).pg=og-op=13(a+b)-ma=13-ma+13b.pq=oq-op=nb-ma.又p,g,q三点共线,存在一个实数,使得pg=pq.13-ma+13b=nb-ma,13-m+ma+13-nb=0.a与b不共线,13-m+m=0,13-n=0,由消去得:1m+1n=3.22.导学号08720080(本小题满分12分)已知正方形abcd,e,f分别是cd,ad的中点,be,cf交于点p.求证:(1)becf;(2)ap=ab.证明:如图建立平面直角坐标系xoy,其中a为原点,不妨设ab=2,则a(0,0),b(2,0),c(2,2),e(1,2),f(0,1).(1)be=oe-ob=(1,