高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例知识巧解学案 新人教A版必修4.doc

2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例疱工巧解牛知识巧学一、平面几何中的向量方法 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了. 用向量法(即以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论)证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果，可简单地表述为：形到向量向量的运算向量和数到形.学法一得 用向量法证明几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在物理中的应用 向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量.矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然，物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小，没有作用点.但是，这并不影响向量在物理学中的作用.学法一得 向量在物理中的应用，实际上就是先把物理问题转化成数学问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中，一要体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.典题热题知识点一 用向量方法证明几何问题例1 已知ad、be、cf分别是abc的三条高，求证：ad、be、cf相交于同一点.思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量，我们假设两条高be、cf交于点h，再证明ad与bc垂直即可说明结论成立.图2-5-2证明：如图2-5-2，ad、be、cf是abc的三条高，设be、cf交于点h,=a，=b，=h，则=h-a，=h-b，=b-a.，(h-a)b=0，(h-b)a=0.(h-a)b=(h-b)a.化简得h(b-a)=0.ah与ad重合，即ad、be、cf交于一点.例2 在abc中，点d和e分别在边bc与ac上，且bd=bc，ce=ca，ad与be交于点r，证明rd=ad，re=be.图2-5-3解：设=e1，=e2.取e1，e2为基底，下面我们将用基底表示出来.设=，=.由于=+=e1+(e2-e1)=e1+e2，=+=-e1+e2，=e1+e2， =-e1+e2.=(1-)e1+e2， 根据唯一性，由和可得=1-，.解得=，=.于是ar=ad，rd=ad；br=be，re=be.巧解提示：由a、d、r三点共线，可设=+(1-)=+(1-). 由b、e、r三点共线，又设=+(1-)=+(1-). 根据唯一性，由可得=，=.将之代入得=+，=+，即，.rd=ad，re=.例3 如图2-5-4所示，在abc中，设=a，ac=b，=c，=a(01)，=b(01)，试用向量a、b表示c.图2-5-4思路分析：本题实质是平面向量基本定理的应用，因a、b不共线，故c可用a、b表示.鉴于图形中三角形较多，所以需要从中找出相关的三角形，利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解.事实上，若令=的话，则点p就成为abc的重心.解：与共线，=m(-)=m(b-a).=+=a+m(b-a)=(1-m)a+mb. 又，=n=n(-)=n(a-b).=+=b+n(a-b)=na+(1-n)b. 由，得(1-m)a+mb=na+(1-n)b.a、b不共线，即解之,得m=，n=1-.将m、n代入式，得c=(1-m)a+mb=.知识点二 选择适当的直角坐标系，用坐标法解决有关几何问题例4 已知abc中，c是直角，ca=cb，d是cb的中点，e是ab上一点，且ae=2eb，求证：adce.图2-5-5证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系，设a(a，0)，则b(0，a)，e(x，y).d是bc的中点，d(0，).又ae=2eb，即=，即(x-a，y)=2(-x，a-y)，解之,得x=，y=.要证adce，只需证与垂直，即=0.=(0，)-(a，0)=(-a，)，=()，=.，即adce.方法归纳 在未给出点的坐标的题目中，选用坐标法往往要考虑几何图形的特点，如直角三角形、正方形等用坐标法有时比较方便.例5 如图2-5-6，四边形aobe是菱形，其对角线oe在x轴上.在ob的延长线上取一点c，ac交be于点d.若aoe=60，bc=m，菱形的边长为l，求点d的坐标.图2-5-6思路分析：欲求点a、c的坐标，必须要用eoa=60，eoc=300.这是解此题的出发点.解：=(|cos60，|sin60)=()，=(|cos300，|sin300)=()，=-=(). 设=(x，y)，=-=(x-，y-)且与共线，即. 又与共线，=(l-x，-y)，故，即.将y=(x-l)代入，得，.d点的坐标是(，).例6 如图2-5-7，在rtabc中，已知bc=a，若长为2a的线段pq以a为中点，问与的夹角取何值时，的值最大?并求出这个最大值.图2-5-7思路分析：本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标系的转化及向量的联系.解：以直角顶点a为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.图2-5-8设|ab|=c，|ac|=b，则a(0，0)、b(c，0)、c(0，b)，且|pq|=2a，|bc|=a.设点p的坐标为(x，y)，则q(-x，-y)，=(x-c，y)，=(-x，-y-b)，=(-c，b)，=(-2x，-2y).=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.cos=，cx-by=a2cos.=-a2+a2cos.故当cos=1，即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.方法归纳 对于平面几何问题，除了用综合法和解析法对其证明外，还可引入向量，通过向量的线性运算或建立坐标系通过坐标运算去求解.知识点三 向量在物理中的应用例7 一架飞机从a地向北偏西60的方向飞行1 000 km到达b地，然后向c地飞行.设c地恰好在a地的南偏西60，并且a、c两地相距2 000 km，求飞机从b地到c地的位移.图2-5-9解：如图2-5-9所示，设a在东西基线和南北基线的交点处. 依题意，的方向是北偏西60，|=1 000 km；的方向是南偏西60，|=2 000 km，所以bac=60. 过点b作东西基线的垂线，交ac于点d，则abd为正三角形. 所以bd=cd=1 000 km，cbd=bcd=bda=30. 所以abc=90. bc=acsin60=2 000 (km)，|= (km). 所以，飞机从b地到c地的位移大小是 km，方向是南偏西30.例8 已知力f与水平方向的夹角为30(斜向上)，大小为50 n，一个质量为8 kg的木块受力f的作用在动摩擦因数=0.02的水平平面上运动了20 m.问力f和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)图2-5-10解：如图2-5-10所示，设木块的位移为s，则fs=|f|s|cos30=5020 (j).将力f分解，它在铅垂方向上的分力f1的大小为|f1|=|f|sin30=50=25(n)，所以，摩擦力f的大小为|f|=|(g-f1)|=(80-25)0.02=1.1(n).因此fs=|f|s|cos180=1.120(-1)=-22(j).即f和f所做的功分别是 j和-22 j.问题探究方案设计探究问题 向量的运算是用向量解决问题的重要途径，特别是数量积，它涉及平行、垂直等重要的位置关系.我们通过学习平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，提出怎样用向量坐标表示向量数量积的问题，那么这些问题具体如何解决，该怎样应用？探究思路:将数量积的坐标形式用于表示距离、角、垂直、平行等关系.探究结论:对于平面向量的数量积，我们有结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，将其进一步推广就有：设a=(x，y)，a2=|a|2=x2+y2或|a|=；设a、b两点的坐标分别为(xa，ya)、(xb，yb)，|ab|=,这就是平面内两点间的距离公式；设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，向量a、b的夹角为，cos=；设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab的充要条件是abx1x2+y1y2=0. 在学习时，一方面要注意与前面的知识进行联系，要熟悉向量的数量积的定义以及它的有关性质；另一方面，坐标运算是向量运算的一种重要的形式，因此要熟练掌握向量的数量积的坐标表示，注意有关的结论，并能熟练地应用它们解决有关的问题.在学习过程中，注重养成独立思考钻研的习惯和能力，初步了解对立统一的辩证思想，灵活处理向量与三角函数、不等式、解析几何、立体几何相结合的题目.思维发散探究问题 已知a、b是两个非零向量，且满足|a|=|b|=|a-b|，试探究求a与a+b夹角的方法.探究过程:基于向量表示上的差异，也就是表示方法上的不同，解本题常见的有三种方法.一是利用向量加减法的几何意义，用数形结合的方法求夹角；二是利用已知条件，找出a的长度与ab及a的长度与a+b长度间的关系.再利用夹角公式求解；三是设出向量a、b后再利用夹角公式求解.探究结论:方法一：根据向量加法的几何意义作图，如右图所示.图2-5-11在平面内任取一点o，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形oacb.由于|a|=|b|=|a-b|，所以oacb为菱形，co平分aob，且aob=60.所以aoc=30，即a与a+b的夹角为30.方法二：由|a|=|b|，得|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2