高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.3 两角和与差的正切学案 新人教B版必修4.doc

3.1.3两角和与差的正切基础知识基本能力1理解两角和与差的正切公式的推导过程(重点)2掌握两角和与差的正切公式及其变形(重点、难点)3理解两角和与差的正切公式的适用条件(易错点)1能运用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明(重点)2掌握公式的正用、逆用与变形用，尤其是变形公式tan tan tan()(1tan tan )经常考查(难点)3灵活运用“1”的代换，在某些问题的解决中，常将“1”替换成tan，sin2cos2，tan cot 等(重点、易错点)两角和与差的正切公式两角和的正切公式：tan()，(t)两角差的正切公式：tan().(t)在两角和与差的正切公式中，和的取值应使分母不为零【自主测试1】与相等的是()atan 66 btan 24ctan 42 dtan 21解析：由两角差的正切公式，原式tan(4521)tan 24.答案：b【自主测试2】(2011浙江温州模拟)非零向量a(sin ，2)，b(cos ，1)，若a与b共线，则tan_.解析：由ab得，sin 2cos 0，即tan 2，tan.答案：两角和与差的正切公式成立的条件及作用剖析：(1)公式成立的条件：k，k，k或k，以上式子均有kz.当tan ，tan ，tan()不存在时，可以改用诱导公式解决如化简tan，因为tan的值不存在，不能利用公式t，所以改用诱导公式来解：tancot .(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握：tan tan tan()(1tan tan )，1tan tan .如tan 25tan 20tan 25tan 20tan(2520)(1tan 25tan 20)tan 25tan 20tan 45(1tan 25tan 20)tan 25tan 201tan 25tan 20tan 25 tan 201.所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了(3)与两角和与差的正弦函数公式和余弦函数公式一样，两角和与差的正切公式对分配律也不成立，即tan()tan tan .题型一 给值求值问题【例题1】已知sin ，是第四象限的角，求tan和tan的值分析：已知sin 的值，求tan用两角差的正切公式，而求tan则只能用诱导公式来做解：因为sin ，是第四象限的角，所以cos ，所以tan .于是有tan7，tan.反思在运用两角和与差的正切公式来解题时，一定要注意公式成立的条件当tan ，tan 或tan()的值不存在时，不能利用公式t，可改用诱导公式或其他方法【例题2】已知tan()，tan，求tan.分析：如果通过已知解出tan 再求值，计算量大由于()，所以可以直接利用公式来求解解：tantan.反思在解题时切记不要盲目地看到是和差角的形式就套用公式，那样会增加计算量，而且容易出错，要先整体观察题目的特点，再寻找最简的解题方法，这是我们要培养的良好习惯题型二 两角和与差的正切公式的变形使用【例题3】计算：(1)tan 10tan 20(tan 10tan 20)_.(2)_.解析：(1)原式tan 10tan 20(1tan 10tan 20)tan(1020)tan 10tan 201tan 10tan 201.(2)tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 20tan 40.1.答案：(1)1(2)1反思本题的两个小题都是考查两角和的正切公式的变形运用，含，两角的正切和与正切积的式子，用两角和与差的正切公式的变形比较容易处理在历届高考试题中，曾多次考查过两角和与差的正切公式及其变形的应用，在学习过程中，对此应予以重视题型三 给值求角问题【例题4】如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于a，b两点，已知a，b的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求2的值分析：(1)先根据cos ，cos ，求出tan ，tan ，再用和角公式求tan()(2)先求2的正切值再求角解：由条件，得cos ，cos .，为锐角，sin ，sin .因此tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，且，为锐角，02，2.反思此题要注意单位圆中有关角的三角函数值的特点与对应关系，还要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如2()等题型四 公式的综合应用【例题5】已知tan a，tan b是关于x的方程mx22x2m0的两个根，求tan(ab)的取值范围分析：根据韦达定理和两角和的正切公式，用参变数m表示tan(ab)，然后求含参变数m的式子的取值范围解：由题意得m0，且4(7m3)8m20，即2m27m30，且m0.m3.又7m30，m.m3，则2.tan a，tan b为此方程的两根，tan(ab)22.当时，tan(ab)取最小值为.当或2时，tan(ab)取最大值为2.tan(ab)的取值范围为.反思本题易犯如下错误，只考虑用韦达定理寻求tan atan b，tan atan b的值，而忽视方程有根的前提条件凡涉及到一元二次方程根的问题，就要优先考虑“”，它是研究一元二次方程根的相关问题的前提条件题型五 易错辨析【例题6】已知tan ，tan 是方程x23x40的两个根，且，则的值等于()a b或c或 d错解：tan ，tan 是方程x23x40的两个根，tan tan 3，tan tan 4.tan().又，(，)或.故选b错因分析：忽视了tan ，tan 是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象正解：tan ，tan 是方程x23x40的两个根，tan tan 30，tan tan 40.tan ，tan 是方程x23x40的两个负根，即tan 0，tan 0.，(，0)又tan()，.故选d1的值是()a b c d解析：tan(4575)tan 120tan 60.答案：b2已知，tan，那么sin cos 的值为()a b c d答案：b3若，则(1tan )(1tan )等于()a1 b1 c2 d2解析：(1tan )(1tan )1(tan tan )tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan 1tan(1tan tan )tan tan 2.答案：c4函数ytantan的最小