理想气体状态方程解题方略

张遥 理想气体状走方程解题方略 运用理想气体状态 方程 解题 其基本的方 法策略 体现为以下 三个主要 环节 一 抓 住一 个对 象 理 想 气体状态 方程被 表述为户 V T l P ZVZ T 它描述 的是一定质量 的理想气体的状 态 变化规律 其研 究对 象 的特征是 定 对 象 定 种类 定质 量 也即方 程等号 两边 所对应 的 是质 量 和种类都不 改 变 的同一气体 这就使得 合理 的 巧妙的确定气体研 究对象 具 有一定 的技 巧 性和创造性 我们 在选择和确定研究对象时 应 善 于研究和 把握好以下几个环节 1 变 中求恒 解决 变与不 变 的关系 物理问题常常是复杂 多 变 的 我们所面 临 的气体对象其质量往往 也是改变 的 这就需 要 解题者根据方 程 的需要 在 变 化 的对象中把握 住不变的要素 变中求恒 灵活地处理好变与不 变 的关系 例 1 一个瓶中装有某些气体 瓶上有一 小孔跟外面大气相 通 原来瓶里气体的温度为 2 7 C 如果把它加热到 12 7 C 从瓶中逸出的空 气质量是原来气体 质 童的多少倍 J 解 这 是 一个变质量 问题 如 一 一一一 何化 变 为 不变 呢了我们不妨以 原来瓶里 的气体为研究对象 设此 时气 体的体积为 V 当温度 升高 图 l 后 虽然有 一 部 分气体跑出 瓶 子 外 但我们的研究对象仍然是原来的全部气体 设这时气体的体积为 V Z 如图1所示 对于这 样的等压过程中有 V V Z 二T T 300 4 0 0二3 4 又 因为气体处在平衡状 态时质量总是均匀 分布的 因此减少的质量与原来质量的比为 乙阴乙V V Z 一V l 一 一 一 一 二二二 m一 V Z 一 v Z 一 4 即从瓶中逸出的空气质量是原来气体质量 的 1 4 2 分 析综合 把 握部分 与 整体的关系 部分与整体的关 系历来 是物理研究的重要 范畴 解决部分与整体关系的基本方法有 把整 体分解为部分进 行研究的 分析方法和 把对部分 的认识统 一为对整 体认识的综合方法 运用 理 想气体状态方程解题 也要善于把握部分与整 体的关系一般说来 处 理这 一关系有以下两 种 基本形式 1 隔离分析 取局部为研究对象 当气体整体各部分状态 变化情况不 同 时 一般可将该气体分解 为若干个部分 取其中某 些部分为研究对象 从而 运用 理 想 气体状态 方 程解决问题 例 2 氧气筒内气体的压强为3 0 个大气 压 温度为2 7 C 现 放出筒内1 5质 童的 气体 并使温度 降为 7亡 则筒内刹余气体的压强为 多 少个大 气压 解 不 妨将原来筒中 的 睡舞刃 喂睡翻 气体分解为 两部分 取其中 图2 占总体积 4 5的未 排出氧气 筒的气体为研究 对象 设氧 气筒的容积为 SV 则如图 2 所示 对象原 来 的 体积为 V 二4V 后来这一 气体充满整 个气筒 体积变为 V Z 一SV 于 是根据理想气体状态方 程有 P V T P V T Z 则后来剩余气体的压强为 V IT2 P Z 一 i下 一布二PI 犷 2Jl 22 4 at n 羹 礴卿撇娜娜娜娜 2 综合决策 以整体为研 究对象 整体是 由部分组 成 的 整体的 状 态变化是 各部 分 状 态变 化 的总结 果 以各部分气体的 总 和 整体 为研究对象 也是 解决气体问题常用 的对 策 例3 如图 3所示 活塞式 打气筒 气缸容 积为 V l 用它 向 容积 为 V 的容器打 气 容 器 内原有气体 压强与外 界大 气 压强产 相 同 每次打 气筒 例 4 如图 4 所示 一个两 端封闭横截面 均匀的U型玻璃管 两臂内分别存有适量的理 想气体 一段水银柱 将 其 分隔为 A B两部 分 将 此U型管两端 向上竖直立起 A B两部 分气 体的 长度分别为 L 一1 2 c m L 一1 8 c m 两 端 向下竖直立起时 A B 两部分 气体的长度分别 为 I 一6 c m I J 一24 c m 求将此U型管平放 在水平桌面上时 A B 气体的长度 二 x 各是 多少 都从外界吸 入压强为P 的空 气 设整个打气过 程气体温度不变 求第 n 次打气结束时 容器 内气体压强P 二 解 该题所 述第 n 次打气后气体的压强是 气筒 n 次 工作 的 总结果 宜以包括 n 个气 缸的 气体和容 器 中原来 气体在 内的全 部气体 为研究 对象 该题才 能正确求解 于是 由理 想气 体状态 方程 有 P 刀 V 一十 一 U Z 一 P V 盯 了 日矛 玄么叨节 目 一 翎 昌 丁门 叼之肖一 1 3 1 日召 U宁支U z n V I 一 一 V 下导P 一一 几 万牙一 一 P V 3 探寻联系 研究对 象与对 象间的关系 在运用理想 气体状态 方程 解题时 我们所 面对的研究 对象 常 常会是几 部分相 互作用相互 关联的气体 解 决这 一 类 问题要 特别注重对 象 与 对象之 间 关 系的研 究 只有 弄 清各部 分气体 之 间的关系 才能正确成功 地解题 解决关 联气 体问题的基 本要 点 是 分割 研究 寻 求 联系 运 用规 律 分割 研究 指 的 是单 独以各部分气体为研 究 对 象进 行 状 态和过 程分析 然后 分别 独 立地 应用 理想 气体状态 方程 寻求 联 系 指 的是 弄 清各 研究 对 象 之 间 的 关 系 其中包 括反 映对象体积变化 的几何关系 反 映对象压强特征 的力学关 系和反 应对 象温度 变化 的热学 关 系等 运用 规 律 是 根据对各部分气体的单独分 析 研究 运 用理想气体状 态方 程及各气体间的 相互 关系式 列 出相应的方程 并求 解方程 图 4 解 U型管开口向 上时 A B两 部 分 气体 压强的关系为如 一 八 十6 以厘米汞柱为 压 强单位 以下均 同 U型 管 开口向下时 A B 两部分气体压强的关 系为P 2 一 P o Z 十18 U型 管水 平 放置 时 A B 两 部 分气体压强的关 系 为 九 3 一p 3 在三种状态下 A B两 部分气体体积 之 间的关系为 L L Z 一刃 刀 二 x 一 3 0 c m A B 两 部分气 体的温 度 始终保持 不 变 分别以 A B 两 部 分 气体为研究对象单独 进 行研究 它们的状态和相 互关 系 的分析如 下 表所示 凡凡凡凡B B B 状状 态1 1 1 P一二PJV ll 12 5 5 5 P力 l P I 6不 sa一18 5 5 5 状状 态2 2 2P 2 PZ 18V八2一6 5 5 5 户月2 PZV月 2 24 5 5 5 状状态3 3 3 P川二 力 v朋 却 s s s P刀 P3V习 x 召s s s 根据以上分析有 方程组 t犷 斗 一 犷 z了 30 解 得 二 一10 c m 二 20 eni 数理化学习麦 高幸 娜 二 分 析两个状态 理想气体状态方程 表述 形式明显地 表现 有 一个 过程 两种状态 的特征 因此 能否正确 地分析 和 确 定 初状态 P V I T I 和末状态 P 2 v Z T 成 了运用 理 想气体状态方 程解题 十分关键 的环节 通常要求解题者认 真研 究各 状 态参量 的变 化情 况 正 确地计算各状 态参 量 的数值 并将初 末状 态 的分析 结果 整 齐有序地 显示 出来 如 例 5 粗细均匀 竖直放置的U型玻璃管左 上端封闭 右上端 开 口 在标准大气压下 当温 度 t 一 15C 时 管内用水银 封闭着 二 8 cm 气柱 这时两管水银面高度差 h一4 c n l 求 l 温度 t 多高时 被封闭 气柱的长度变 为 x 9 e m 2 保持温度 t 不 变 从开 口再注入 多高 的水银 气柱长度可变回 s c m 的正确分析 然 而 正 确地确定初 末 状 态 往 往 并非易 事 有 时需 要 进行深入 的研究 才 能把握 问题的 实质 形成对状态 正确的判断 如 例 6 如图 6 所示 一 传热性能很好的容器 两 端 是 直径不同 的两个圆筒 里 面各有一 个活塞 其横 截面 黝 二 勘 黝 状态 状态2状态3 图 5 解 经如图 5 所示 的状态分析 气体状态 分 析 结果 显示 如下 P I 76一4 72 em Hg V z 85 了 l 一27 3 15一2 8 8 K P Z 76一2 74 em Hg V 95 T 273 t K P 3 7 6一 4一丈 7 2 x e mHg V 3 85 T 3 T 27 3 t Z K 根据这 一分析结果我们很容易求得 P IVz 1少 下 石 1 1 解得 t 一 6 0 C时被封 闭气体长 度变为 9 eni 八 P IV 气 少叶石布 I l 解得应 注入水银的高度为 二 一n 2 5 c l n 可 见 解题 成 功 的基 础 在于对初 末状 态 积分为S 一1 0 c m 和凡 一4 c m 2 它们之间有 一质量不计的轻 质细杆相连 两活塞可在筒内 无摩擦地 滑动 但不漏气 在气 温 为一2 3 C时 用梢 子 M把 B 拴住 并把阀门K打开 使 容器 和大气相通 随后关 闭K 此时活塞间 气体体积 为 300 c m 3 当气温升到 2 7 C时 把销子拔去 以大气压强为1 0X 1 0 5Pa 不 变容器 内气 体 温 度和外界相同 求拔去梢钉后 活塞第一次达到 运动速度 最大值时的位 移 解 本 题分 析 的难 点在于弄 清活塞第一次 到达 运 动 速度最 大值时 热学 状态是怎样的状 态 不 妨以 月 B 活塞整体为对象对其进 行 动 力学分析 由分析可知 当拔去 销钉后 八 B 对 象即做加 速度逐 渐 减小 的加 速运 动 当加速度 减小 为 a 一O时 活塞 第一次达到速度最 大值 此时 圆筒 内气体的 压强等于大气 压强P 根据 这一动力 学分析的结果 该 气体对 象的热 学初 末状 态可确定 如 下 初状态 户 户 V 30 0 nl T 25oK 末状态 P 一P V 一 T 一30 0K 可见 气 体状态的变化可等效 为一个 等压过 程 于是有 V Z V 一T T 可解 得 V 一T ZVI T l 3 60 em 3 气体体积的 变化量 为 V V 一V 60 em 3 设活 塞向左移 动 的距离 为 二 由几何关 系 有 V一S 一S 孙二 则活塞的位移 为 二 V S 一S 10 em 三 把 握三个过 程 V一 rZ 1 川 一T P 一 V一 3 叨 一T P 一 过 程 是物质运动的经 历 过程是状态变化 的历史 一定质量 的理 想气体的状态变化过程 通常是较为复杂的 然而 它始终遵循着 PV T 一恒 量 这 一 规律 在理 想气体状态变化中 有 三个特 殊的过程 为我们认识气体状 态变化规律 提供了基 础 这就 是等温过 程 等容过 程 等压 过程 与这 些过程相对应的规律是 玻意 耳定律 查 理定律 盖 吕萨克定律 它们都可看作特定 过程中的理 想气体状态方程 深人研究和正确 分析气体的状态变化过 程 是 运 用理 想气体状 态方 程解题的又 一重要 环节 其中对 气体状态 三个 过程 的把 握和所对 应实验定 律的运用为正确快捷地解题提供了认 识基础 如 例 7 如图 7所示 一水平 固定在地面上的国柱形气缸用 活塞封闭着一定质量的气体 初 始温度为 2 7C 体 积为 10 0 瘾翼 升 图 7 c m 3 活塞面积1 0 c m 开始 时 内外气体压强均 为 1护P a 活塞与 气缸间的最大静摩擦力f SN 求 l 当温度 升 高到 3 7 C时 气体 压强多大 B 当温度 升高到 1 27 C时 气体的体 积 多大 解 能 否正确地分析过 程是成功解答该题 的关键 对过程的深 人分析告诉我们 开始时气 缸 内外 压强相等 活塞没有移 动趋势 随着温度 升 高 气缸内气体压强 增大 活塞有向右移动趋 势 由于存在静摩擦力 活塞仍处 于静止状态 气 缸 内气体积不变 当温 度升高到某个临界值 7 c后 活塞开始稳慢向右移动 缸内气体的压强 保持不变 可 见气缸 内气体状态的变化经 历 了 两个过 程 开始是等容过程 后来是等压过程 让我们先算出气体由等容变化转为等压变 化时 的临界温度值 T 以活 塞为 研究对 象 当 活塞 刚要 开始 活 动 时 活塞受的摩擦力为最大静摩擦力 于是有 O PS十f一c PS 可解 得 P P f S一 1 05 K 10 5 P a 此前气体体积保持不变为等容变化 因此 有 T T c P P 解得临界温度值 T 二p oT p 二315 K l 由于T 二3 1 0K T 因此 t 1 2 7C 时 气体处于等压变化 阶段 于是有 V Z V T Z c T 即 V Z V T Z T 可解得此 时气体的体积为 V T ZVI T 一127 e m 3 上 述对运动状态 与过程的分析 人们称之 为 时 间发展分析 它是 物 理学科学分析方 法 最 基本的内容之 一 其实质就是从部分与 整体的 关系出发将 物质运 动演 化的过 程分解为若干个 阶 段分别进行研究 与每一 阶段对应 是事物的 初 状 态与末 状 态 正是以状态 与过程的分析为 核心的时 间发 展分析方法 构 成了理想 气体状 态 方 程解题的最基本的分析手 段 让我们 来 看 以下一例 例 8 知图8所示 一 个 质 童不计的 活塞 将一定 质量的理 想气体 封闭在上 端开口的直立 圆筒形气缸 内 活塞上堆放着铁砂 最 初活塞 搁 在气扛内壁的固 称称称称称称称称称称称称 亡亡亡亡 二二 二习习 亡亡亡亡二吮笠二二二口 口 尹尹尹尹 兹爷 爷 定卡环上 气缸内气体 柱的高度为H 压强为 大气压强P 现 时 气体 缓 慢 加热 当气体温度 升高乃T 一60K时 活塞 及铁砂 开始离开卡 环面上升 继续加热直到气柱高度为H 一 1 SH 此后在维持温度不变 的条件下取走铁 砂 直到铁砂 全部取走时 气体高度为1 1 1 SH 求此时气体的温度 不计活塞与 气缸间 的摩擦 解 该气体经历 了四个状态间的 三个 过程 其状态过程分析如下 娜黝嘟娜娜翅象 P P Po o o o o P P P H H H o S S S S S 氏 S S S S SH 5 5 5 5 5H S S S 不不不不 7 石 八了 了了 T T T T T了 状态 1 状态 2 状态 3 H o S T 乙 T 由 两式联 列 可解得 H 1 1 1 了 一 二二 二 二二 二一二兀二一01 月 ot 月 一 I了一 由等压过程有方 程 S 一 私一 T 由状态 l 到状态 4有 方程 状态4 H zS T 月 25 花厂 一 代人数据可算得 T一54 K 综 上所述 明确一个对象 分 析两个 状态 把握 三个 过程 构成了运 用理 想气体状态 方程 解题最基本的方 法 与策略 一 江 着 渝州土中公 如吞 如 一一 万洪禄 一例热学题的分析及其 多变 在 处理水银 或活塞封 闭的气体问题时 遇 到 的 常是 粗 细均 匀 的容器 但 也偶尔遇 到容器 粗 细 不均 的情况 由于容器 截面 积不同的情况 较少 见 因而 该类问题出错较多 这里所谓 封 闭 也不仅限于真正的封 闭