高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第五节 与圆有关的比例线段课堂导学案 新人教A版选修4-1.doc

第五节 与圆有关的比例线段课堂导学三点剖析一、用圆幂定理证明ab=cd+ef型线段关系式【例1】 如图2-6-1,已知o1与o2内切于点p,o2的弦ab切o1于点c,连结pa、pb,pc的延长线交o2于点d.求证:pc2=papb-acbc.图2-6-1思路分析:要证结论,考虑将左边化成右边形式,将pc变为pd-cd,则左边=pc(pd-cd)=papb-acbc=右边,只需分别证明pcpd=papb和pccd=acbc即可.证明：连结bd,过p作两圆的公切线pm,ab是o1的切线,acp=mpc=dbp.又a=d,apcdpb.pdpc=papb.由相交弦定理,得pdcd=accb.pdpc-pccd=papb-acbc,pc(pd-cd)=papb-acbc.pc2=papb-acbc.二、用圆幂定理证明型线段关系式【例2】 如图2-6-3,已知:abc内接于o,过a的切线交bc的延长线于p,若d为ab的中点,pd交ac于e,求证:=.图2-6-3思路分析:pa2=pcpb,=,则只需证=. 证明：过c作cfab交pd于f,=, =.bd=ad,=.由切割线定理,得pa2=pcpb,=.=.温馨提示(1)在两条线段平方比中的一条线段是切线时,常采用此法降幂法.所谓降幂法,就是欲证,先证a2=be,则,再证即可.(2)一条线段的平方常由切割线定理得到,有时还可由射影定理、相似三角形的性质得到.三、用运动变化思想探究问题的结论【例3】 如图2-6-5,已知ab是o的直径,ab垂直于弦cd,垂足为m,弦ae与cd交于f,写出图中有关线段的关系式.图2-6-5解析：由相交弦定理affe=cfdf,cmmd=ambm.cm=md,cm2=ambm或dm2=ambm.连结bd,则adb=90.由射影定理ad2=amab.连结de,=,adf=aed.daf=ead,adfaed.=.ad2=aeaf.由得amab=aeaf.各个击破类题演练1如图2-6-2,o1、o2相交于a、b两点,过a作o2的切线交o1于c,直线cb交o2于d,直线da交o1于e.求证:(1)ce=ca;(2)ce2+dade=cd2.图2-6-2证明:(1)连结ab,3=2,2=e,3=e.3=1,1=e.ce=ca.(2)由切割线定理,得ca2=cdcb,ce2=cdcb.由割线定理,得dade=cddb,ce2+dade=cdcb+cddb=cd(cb+db)=cd2.类题演练2如图2-6-4,已知o为abc的外接圆,ad为o切线,交bc延长线于d点,求证:.图2-6-4解析:等式左侧不易降幂,设法对右侧升幂,=,故=,只需证即可.证法一:ac是弦,ad为切线,cad=abc.abdcad.又由切割线定理,得da2=dcbd,=.证法二:abdcad,=.又cad与abd同高,=.类题演练3若将弦cd向下平移至与o相切于b点时，如图2-6-6，结论是否仍然成立?若不成立，请探求aeaf等于哪两条线段的积，并证明.图2-6-6解析:连结eg、bg,ab是直径,agb=90.bag+abg=90.由bd是切线,得abbd.d+bad=90.abg=d.又,aeg=abg.aeg=d.e、f、d、g四点共圆.由割线定理,得aeaf=agad.故aeaf不等于ad2.结论已不再成立.变式提升3当cd继续向下平移至与