高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用教案 北师大版选修2-2.doc

定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即例 1。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示求汽车在这1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2变力作功一物体在恒力f（单位：n）的作用下做直线运动，如果物体沿着与f相同的方向移（单位：m)，则力f所作的功为w=fs .探究如果物体在变力 f(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 f (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (ab) ，那么如何计算变力f(x）所作的功w呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题可以得到 例2如图17一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 f ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 f ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数由变力作功公式，得到答：克服弹力所作的功为.例3a、b两站相距7.2km，一辆电车从a站b开往站，电车开出ts后到达途中c点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到c点的速度为24m/s，从c点到b点前的d点以等速行驶，从d点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在b点恰好停车，试求（1）a、c间的距离；（2）b、d间的距离；（3）电车从a站到b站所需的时间。分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分,即略解：（1）设a到c的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则ac（2）设d到b的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),则db（3）cd=7200-2240=6720(m),则从c到d的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）练习：如果1n能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ a ） a 0.18j b 0.26j c 0.12j d 0.28j略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。（三）、课堂小结： 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。（四）、作业：课本p86页7 p95页9、11五、教后反思根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。