高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 三 圆的切线的性质及判定定理学案 新人教A版选修4-1.doc

三圆的切线的性质及判定定理1理解切线的性质定理及其两个推论，并能解决相关的计算或证明问题2掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切1切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于经过切点的_符号语言直线l与圆o相切于点a，则_图形语言作用证明两条直线垂直【做一做1】如图所示，直线l与o相切于点a，b是l上任一点(与a不重合)，则oab是()a等边三角形 b锐角三角形c直角三角形 d钝角三角形2性质定理推论1文字语言经过圆心且垂直于切线的直线必经过_符号语言直线l与圆o相切于点a，过o作直线ml，则a_图形语言作用证明点在直线上【做一做2】如图所示，直线l与o相切，p是l上任一点，当opl时，则()ap不在o上bp在o上cp不可能是切点dop大于o的半径3性质定理推论2文字语言经过切点且垂直于切线的直线必经过_符号语言直线l与圆o相切于点a，过点a作直线ml，则o_图形语言作用证明点在直线上由性质定理及其两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下的结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心于是在利用切线的性质时，过切点的半径是常作的辅助线【做一做3】直线l与o相切于点p，在经过点p的所有直线中，经过点o的直线有()a1条 b2条 c3条 d无数条4切线的判定定理文字语言经过半径的_并且_于这条半径的直线是圆的_符号语言oa是圆o的半径，直线loa，且al，则l是圆o的_图形语言作用证明直线与圆相切在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图，中的例子就不能同时满足这两个条件，所以都不是圆的切线【做一做4】如图，ab经过o上一点c，且oaob，accb，求证：直线ab是o的切线答案：1半径oal【做一做1】cl与o相切，loa.oaab.oab90，oab是直角三角形2切点m【做一做2】b由于opl，则p是l与o的切点，则p在o上3圆心m【做一做3】a过p且垂直于l的直线仅有1条，此时点o在该垂线上，故选a.4外端垂直切线切线【做一做4】分析：转化为证明ocab即可证明：如图，连接oc.oaob，oab是等腰三角形又accb，ocab.又oc是o的半径，直线ab是o的切线1圆的切线的有关知识剖析：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心2判定切线的方法剖析：判定切线通常有三种方法：(1)定义法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)定理法：过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法：若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证明这条直线与此半径垂直，即用定理法；若不能确定已知要证的切线与圆有公共点，则需先向这条直线作垂线，再证明此垂线段是圆的半径，即用距离法证明；通常不用定义法证明题型一 圆的切线性质的应用【例题1】如图，在abc中，abac，以ab为直径的o交bc于点d，过点d作o的切线交ac于e.求证：deac分析：由于de是o的切线，则odde，故要证deac，只需要证明odac即可反思：利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线，出现了垂直关系题型二 判断或证明圆的切线【例题2】如图，ab是o的直径，ae平分baf交o于点e，过e作直线与af垂直，交af的延长线于点d，且交ab的延长线于点c求证：cd是o的切线分析：只需证明oecd即可反思：定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法这种方法的步骤是：连接圆心和公共点；转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直答案：【例题1】证明：连接od，ad，如图ab为o直径，adbc.abac，即abc为等腰三角形，ad为bc边上的中线，即bddc.又oaob，od为abc的中位线odac.de切o于d，odde.deac.【例题2】证明：如图，连接oe.oaoe，12.又ae平分baf，23.13.oead.adcd，oecd.cd与o相切于点e.1如图，pa为o的切线，a为切点，已知pa4，oa3，则cosapo的值为()a bc d2如图所示，cb为o的直径，p是cb的延长线上一点，且obbp，aoc120，则pa与o的位置关系是()a相离 b相切c相交 d不确定3(2011北京丰台二模)如图所示，db，dc是o的两条切线，a是圆上一点，已知d46，则a_.4(2011北京石景山一模)如图，圆o的直径ab8，c为圆周上一点，bc4，过点c作圆的切线l，过a作直线l的垂线ad，d为垂足，ad与圆o交于点e，则线段ae的长为_5如图，be是o的直径，点a在eb的延长线上，弦pdbe，垂足为c，连接od，且aodapc求证：ap是o的切线答案：1c由pa为o的切线，知oapa.在rtoap中，由勾股定理，得op5.故cosapo.2b如图，连接ab.aoc120，aob60.又oaob，aob是等边三角形，obab.又obbp，abbp，pbap.又oba60，p30.又aob60，oap90.oaap，则pa与o相切367如图所示，连接ob，oc，则obbd，occd，故dbodco9090180，则四边形obdc内接于一个圆则有boc180d18046134，所以aboc13467.44如图所示，连接oc，连接be交oc于点f，则ocl，bead.又adl，所以adoc，ocbe.又直径ab8，则oboc4