高中数学 第四章 导数及其应用 4.4 生活中的优化问题举例基础达标 湘教版选修2-2.doc

44生活中的优化问题举例 1设底为等边三角形的直棱柱的体积为v，那么其表面积最小时，底面边长为()a. b. c. d2解析设底面边长为x，则表面积sx2v(x0)，s(x34v)，令s0，得唯一极值点x.答案c2某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入r与年产量x的关系是r(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()a150 b200 c250 d300解析总利润p(x)由p(x)0，得x300，故选d.答案d3某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则x为多少时，银行可获得最大收益()a0.016 b0.032 c0.024 d0.048解析依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y0)，sa，令s0，得唯一极值点，a4.答案45某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大解析利润为s(x)(x30)(200x)x2230x6 000，s(x)2x230.由s(x)0得x115，这时利润达到最大答案1156(2011福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克求a的值；若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解因为x5时，y11，1011，a2.由知，y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)当3x0；4x6时，f(x)80时，y0；当x80时，y0)，y2t.当0t时，y时，y0.y在上递减，上递增，t时，|mn|取得最小值答案d9用总长为14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为_时容器的容积最大？解析设容器底面的一边为x，则另一边长为x0.5，高为3.22x，则vx(x0.5)(3.22x)v6x24.4x1.6.令v0得x1.x1时，v取得最大值高为3.2211.2(m)答案1.2 m10将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为_解析设前者宽为x，面积之和为y，则y2xx(l6x)(l6x)x2lxl2，yxl.令y0得，xl.y的最小值为y|xll2.答案l211(2011江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e，f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设aefbx(cm)某广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.则ax，h(30x)，0x30.s4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以，当x15时，s取得最大值va2h2(x330x2)，v6x(20x)令v0得x0或x20.当0x0；当20x30时，v3)千元设该容器的建造费用为y千元写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的r.解设容器的容积为v，由题意知vr2lr3，又v，l.由于l2r，2r，0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c因此，y4(c2)r2，03