高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.2 圆的切线的判定和性质学案 北师 大版选修41.doc

1.22圆的切线的判定和性质课标解读1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理及其推论2能解决与圆的切线有关的问题.1直线与圆的位置关系当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆_有唯一公共点时，称为直线和圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线和圆相交2切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3切线的性质定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心4切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等1证明直线和圆相切有哪些方法？【提示】通常有三种方法：(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系，通常选取(3)2在学习圆的切线性质定理时需注意什么问题？【提示】(1)分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径(2)圆的切线还有两条性质应当注意：切线和圆只有一个公共点；切线和圆心的距离等于圆的半径在许多实际问题中，我们也利用它们来解决3连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径吗？【提示】是如图，ab、cd分别切o于e、f，连接eo并延长交cd于f.ab是o的切线，oeab.abcd，ofcd.f为切点，f与f重合，即ef是o的直径圆的切线的判定已知：ab是o的直径，bc是o的切线，切点为b，过点a作adoc，交o于点d.求证：dc是o的切线【思路探究】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：过半径的外端；该直线与某一条半径所在的直线垂直【自主解答】如图，连接od，设oad1，oda2，boc3，cod4.oaod，12.adoc，13，24.1234.又obod，34，ococ.obcodc.obcodc.bc是o的切线，obc90.odc90，即odcd.dc是o的切线1在证明odcd时，借助了三角形全等，则对应角相等2判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”图1220如图1220，已知ac是o的直径，oead.ofab，e、f为垂足，oeof.ac是ad和ab的比例中项求证：bc是o的切线【证明】oead，ofab，oeof，12.又ac2adab，acdabc，acbadc.ac是o的直径，adc90，acb90，bcac，bc是o的切线圆的切线的性质图1221如图1221所示，已知ab是o的直径，直线cd与o相切于点c，ac平分dab，adcd.(1)求证：ocad；(2)若ad2，ac，求ab的长【思路探究】(1)要证ocad，只需证明occd.(2)利用adcacb可求得【自主解答】(1)证明：如图所示，连接bc.cd为o的切线，occd.又adcd，ocad.(2)ac平分dab，daccab.ab为o的直径，acb90.又adcd，adc90，adcacb.，ac2adab.ad2，ac，ab.1本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找ad、ac与ab之间关系的2利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等如图1222，圆o1与圆o2内切于点a，其半径分别为r1与r2(r1r2)，圆o1的弦ab交圆o2于点c(o1不在ab上)，求证：abac为定值图1222【证明】如图，连接ao1并延长，分别交两圆于点e和点d.连接bd，ce，因为圆o1与圆o2内切于点a，所以点o2在ad上，故ad，ae分别为圆o1，圆o2的直径从而abdace.所以bdce，于是.所以abac为定值. 切线长定理及应用图1223如图1223所示，正方形abcd的边长为4 cm，以正方形的一边bc为直径在正方形abcd内作半圆，再过a点作半圆的切线，与半圆相切于f点，与dc相交于e点求ade的面积【思路探究】利用切线长定理建立长度关系求解【自主解答】设dex，则ce4x.cd，ae，ab都与o相切，efce4x.afab4.aeafef8x.在rtade中，ae2ad2de2，即(8x)242x2，解得x3.sadeadde436(cm2)1解答本题时应注意afab，efec，且ae2ad2de2.2当过圆外一点作圆的切线时，常常用到切线长定理图1224如图1224所示，p为o外一点，pa，pb分别切o于a，b，cd切o于e，交pa，pb于c，d，op10，o的半径为6，求pcd的周长【解】连接oa，则oapa且oa6，pa2op2oa21026264，pa8，由切线长定理知papb，ceca，dedb，cdcedecadb，pcpdcdpapb2pa16，即pcd的周长为16.圆的切线的判定及性质定理的综合应用图1225如图1225所示，已知等边abc，以边bc为直径的半圆与边ab，ac分别交于点d，点e.过点d作dfac，垂足为点f.(1)判断df与o的位置关系，并证明你的结论；(2)过点f作fhbc，垂足为点h.若等边abc的边长为4，求fh的长(结果保留根号)【思路探究】(1)由已知dob60，可得odfafd90，可得df是o的切线(2)先求fc，利用sinfch可求fh.【自主解答】(1)df与o相切连接od.obod，abc60，bod是等边三角形dob60.abc是等边三角形，acb60.acbdob，则odac，odfafd90，df是o的切线(2)odac且o为bc的中点，d为ab的中点，adbd2.又adf30，af1，fcacaf3.fhbc，fhc90.在rtfhc中，sinfch，fhfcsin 60.即fh的长为.1在解答本例中第(2)小题时，利用了直角三角形中的锐角的正弦值求解2对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果图1226已知：如图1226，a是o上一点，半径oc的延长线与过点a的直线交于b点，ocbc，acob.(1)求证：ab为o的切线；(2)若acd45，oc2，求弦cd的长【解】(1)如图，连接oa，ocbc，acob，ocbccaoa，aco为正三角形，o60，b30，oab90，ab为o的切线(2)作aecd于点e，o60，d30.又acd45，ac oc2，在rtace中，ceae，在rtade中，d30，ad2，de，cddece.(教材第14页练习第3题)已知，如图1227，ab是o的直径，ad是o的弦，bc切o于点b，ocad，求证：cd是o的切线图1227如图1228，ab是o的直径，ae平分baf交o于点e，过e作直线与af垂直，交af的延长线于点d，且交ab的延长线于点c.求证：cd是o的切线图1228【命题意图】本题主要考查切线的判定定理等有关知识【证明】如图，连接oe.oaoe，12.又ae平分baf，23.13，oead.adcd，oecd.cd与o相切于点e.图12291如图1229，ap为圆o的切线，p为切点，oa交圆o于点b，若a40，则apb等于()a25b20c40 d35【解析】如图，连接op，ap为圆o的切线，opa90.a40，aop904050.opob，opb(18050)65.apbopaopb906525.【答案】a图12302如图1230，ab是o的直径，bc是o的切线，ac交o于d，ab6，bc8，则bd等于()a4 b4.8c5.2 d6【解析】bc是o的切线，ab是o的直径，abbc，ab6，bc8，ac10，ab是o的直径，bdac，abbcacbd，bd4.8.【答案】b3如图1231，ab是半圆o的直径，bac30，bc为半圆的切线，且bc4，则点o到ac的距离od_.图1231【解析】bc为半圆的切线，abbc.bac30，bc4，ac8，ab12，od3.【答案】3图12324如图1232，在rtabc中，c90，ac3 cm，bc4 cm，以c为圆心，r为半径作圆，若ab与圆相切，则r_.【解析】过c作cdab，垂足为d，在rtabc中，ab5，cdabacbc，cd2.4 cm，ab与圆相切，rcd2.4 cm.【答案】2.4 cm一、选择题1ab是o的切线，能确定cdab的条件是()aocdbcd过切点cocd，且cd过切点 dcd是o的直径【解析】由切线的性质定理知，选项c正确【答案】c图12332如图1233所示，在abc中，bc14 cm，ac9 cm，ab13 cm，内切圆分别和bc，ac，ab切于d，e，f，那么af，bd，ce分别为()aaf4 cm，bd9 cm，ce5 cmbaf4 cm，bd5 cm，ce9 cmcaf5 cm，bd4 cm，ce9 cmdaf9 cm，bd4 cm，ce5 cm【解析】由题意知aeaf，cecd，bdbf，且ac9 cm，bc14 cm，ab13 cm，则，解得af4，bd9，ce5.【答案】a图12343(2013商丘模拟)如图1234所示，o是正abc的内切圆，切点分别为e、f、g，点p是弧eg上的任意一点，则epf等于()a120 b90c60 d30【解析】如图所示，连接oe、of.oeab，ofbc，beobfo90.eofabc180.eof120.epfeof60.【答案】c4如图，在o中，ab为直径，ad为弦，过b点的切线与ad的延长线交于c，若addc，则sin aco等于()a. b.c. d.【解析】连接bd，作oeac于e.bc切o于b，abbc，ab为直径，bdac，addc，babc，a45，设o的半径为r，ocr.oer，sinaco.【答案】a二、填空题图12355如图1235，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦ab与小圆相切于点c，则弦ab的长为_cm.【解析】连接oa、oc，ab是小圆的切线，ocab，acab.在rtaoc中，ac4(cm)，ab8 cm.【答案】8图12366如图1236所示，ac切o于d，ao的延长线交o于b，且abbc，若adac12，则aoob_.【解析】如图所示，连接od，则odac.ac是o的切线，obod，ococ，odcobc90.cdocbo.bcdc.，addc.bcac.又obbc，abc90，a30.obodao.【答案】21三、解答题图12377如图1237，ab是o的直径，bac30，m是oa上一点，过m作ab的垂线交ac于点n，交bc的延长线于点e，直线cf交en于点f，且ecfe.求证：cf是o的切线【证明】连接oc，ab是o的直径acb90，bac30，abc60，又oboc，ocbobc60.在rtemb中，embe90，e30.eecf，ecf30，ecfocb90，又ecfocbocf180，ocf90，cf为o的切线8如图1238，ab是o的直径，点p在ba的延长线上，弦cdab于e，pocpce.图1238(1)求证：pc是o的切线；(2)若oeea12，pa6，求o半径【解】(1)证明：在ocp与cep中，pocpce，opccpe，ocpcep.cdab，cep90，ocp90.又c点在圆上，pc是o的切线(2)法一设oex，则ea2x，ocoa3x.coeaoc，oecocp90，oceopc，.即(3x)2x(3x6)，x1，oa3x3，即圆的半径为3.法二由(1)知pc是o的切线，ocp90.又cdop，由射影定理知oc2oeop，以下同法一9在rtabc中，c90，ac3 cm，bc4 cm.(1)求abc内切圆的半径；(2)若移动圆心o的位置，使o保持与abc的边ac和边bc都相切，求r的取值范围【解】(1)如图所示，o是rtabc的内切圆，切点分别为d，e，f.连接od，oe，of，ob，则odbc，oeac ，ofab.在rtabc中，c90，ac3 cm，bc4 cm，ab5 cm.oeod，c90，四边形ceod是正方形cddo.obob，odof，odbofb90，odbo