数学人教版八年级上册新课导入.2.2.docx

14.2.2完全平方公式1.经历完全平方公式的推导过程、几何解释，进一步发展符号感和推理能力2.理解完全平方公式的结构特征，并能灵活能正确运用完全平方公式进行有关的计算. 重视学生对算理的理解,有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.3.在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣,培养创新能力和探索精神. 【重点】完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释、灵活应用.【难点】理解完全平方公式的结构特征,并能灵活应用公式进行计算.【教师准备】教材图14.2-2,图14.2-3.【学生准备】复习多项式与多项式的乘法、卡片若干张.导入一:1.有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块.(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?设计意图从具有现实生活实际的情境设计问题,可以激发学生学习兴趣,让学生乐于利用所学知识解决实际问题,也可以体现数学的实用性.(2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(3)第三天共有(a+b)个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?设计意图通过一系列的问题,不仅可以体现循序渐进的原则,也利于学生更有效地运用所学知识解决实际问题.由学生自主总结出公式,导入新课:(a+b)2=a2+2ab+b2.这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数乘积的2倍.一、公式的推导思路一过渡语我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则,能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?我们知道a2=aa,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),这样就转化成多项式与多项式的乘积了.像研究平方差公式一样,我们探究一下（a+b)2 、(a-b)2的运算结果有什么规律.1、计算下列各式,你能发现什么规律?(1) ( p+1)2=(p+1)(p+1)=; (2) (p-1)2=(p-1)(p-1)=;(3) (m+2)2=; (4) (m-2)2=.（5）（a+b)2=_; (6) (a-b)2.= _.让学生做题,然后引导学生发现(1)结果中的2p=2p1,(1)与(2)比较结果中只有一次项有符号之差.请你观察一下式子的结构特点,并用语言叙述出来.2、完全平方公式的结构特征: 左边是两个相同二项式相乘,即一个二项式的平方两个数和(或差)的平方; 右边(积)是一个二次三项式三项式,其中两项是左边的二项式两项的平方和,第三项是左边两项的积的2倍.(首平方加尾平方,乘积二倍在中央) 公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.设计意图前4道小题是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算.【总结】两数和(或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减)它们的积的2倍.符号叙述:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2.3、其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式.你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗?观察图形(1),可以看出大正方形的边长是a+b,得出(a+b)2=a2+2ab+b2.这正好符合完全平方公式.观察图形(2),可以看出大正方形的边长是a,小正方形的边长是a-b,得出(a-b)2=a2-2ab+b2.这正好符合完全平方公式.设计意图数学源于生活,又服务于生活,通过正方形的面积验证完全平方公式,可以进一步理解完全平方公式的结构特征.4、(a+b)2=a2+b2对吗?为什么?两数和的平方,结果应该是三项式.(强化学生对公式结构的理解,防止今后出现类似的错误.)4.你会用(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2吗?引导学生将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2,并指出这也是一个乘法公式:(a-b)2=a2-2ab+b2.5.你能用图形验证:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2吗?在左图中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个小正方形和两个相同的长方形组成,两个小正方形的面积分别是a2,b2,长方形的面积是ab.所以有等式(a+b)2=a2+2ab+b2.在右图中,大正方形的面积是a2,两个小正方形的面积分别是(a-b)2,b2,两个相等的长方形面积都是(a-b)b,于是有a2=(a-b)2+2(a-b)b+b2,即(a-b)2=a2-2(a-b)b-b2=a2-2ab+b2.6.比较(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2这两个公式.它们有什么不同?有什么联系?(引导学生进一步总结公式的结构特点,公式的左边是两数和(或差)的平方,右边是一个三项式,其中两项是这两个数的平方,另一项是这两个数积的2倍.)(a+b)2=a2+2ab+b2.这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数积的2倍.知识拓展(1)运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征:公式的左边是两数和(或差)的平方,公式的右边是一个三项式,是左边两数的平方和加上(或减去)左边两数积的2倍.(2)公式中字母的含义:公式中字母a和b可以是具体的数,也可以是整式(单项式或多项式).利用完全平方公式计算多项式的乘法,最容易漏写2ab项,实际运算中要特别注意.完全平方公式与平方差公式联合使用,要严格分清公式的各自特点,以防混淆.(3)逆用完全平方公式为:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,把三项式写成了积的形式,这是后面要学习的因式分解.二、例题讲解过渡语当遇到两个数的和或差的平方时,我们就可以利用完全平方公式直接计算.运用完全平方公式计算.(1)(4m+n)2;(2).解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2=16m2+8mn+n2.(2)=y2-2y=y2-y+.可由学生口答完成,教师多媒体展示结果,提高课堂效率.正确运用这一公式是关键,设计本环节,旨在通过将算式中的各项与公式里的a,b进行对照,进一步体会字母a,b的含义,加深对字母含义广泛性的理解运用完全平方公式计算.(1)1022;(2)992.解:(1)1022=(100+2)2=1002+21002+22=10000+400+4=10404.(2)992=(100-1)2=1002-21001+12=10000-200+1=9801.此处可先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求,允许他们算法的多样化,但要求明白每种算法的局限性和优越性.运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式.体会符号运算对解决问题的作用,教学时可让学生自己独立解决此问题1.问题导入现有下图所示三种规格的卡片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的卡片,尝试拼成一个正方形,并讨论该正方形的代数意义.由小组合作共同完成拼图游戏,比一比哪个小组快.(1)重视公式的几何背景,可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题;(2)此处由学生自主拼图得到公式,是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法,利用这个拼图游戏,可进一步促使学生关注几何与代数的联系,增进学生的认知和对公式的记忆2.思考讨论(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?组织学生进行讨论,通过自主推导,互相合作交流共同解决难题.3.教师说明:运用乘法公式计算,有时要在式子中添括号,在第二章中,我们学过去括号法则,即a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c.反过来,就得到添括号法则:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c).也就是说,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.知识拓展(1)添括号法则与去括号法则是一致的,添括号正确与否,可用去括号进行检验.(2)添括号时,如果括号前面是负号,那么括到括号里的各项都改变符号,不能只改变部分项的符号.运用乘法公式计算.(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3)=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.知识拓展一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算,关键是使其转化为二项式的平方,如计算(a+b+c)2,可以把这个代数式转化为a+(b+c)2或(a+b)+c2,把b+c或a+b看做是一个整体(一个字母),也可以把这个式子转化为(a+c)+b2.实际操作时要看怎样做最有利于计算.1.完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2完全平方公式是进行整式乘法的重要工具,它的结构形式具有对称性,两个公式都叫做完全平方公式,前面的一个叫做和的完全平方公式,后面的一个叫做差的完全平方公式.判断一个式子能不能用完全平方公式展开,主要看它的结构形式是否符合公式要求,习惯上把(ab)2 中的a叫做前项,b叫做后项,记忆时巧记为“首平方,末平方,首末两倍中间放”.2.添括号添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.应用时,主要关注两点:一是关注括号前面的符号是正号还是负号;二是对照添括号前和后符号该不该改变.3.运用完全平方公式还应注意以下几点:切勿把完全平方公式与公式(ab)2=a2b2相混淆,或随意写成(a+b)2=a2+b2;切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉;计算时,要先观察题目特点,看是否符合公式的条件,若不符合,应先变形为符合公式的形式,再利用公式进行计算,若不能变为符合公式的形式,则应运用乘法法则进行计算.1.下列计算正确的是()A.(x+y)2=x2+y2B.(x-y)2=x2-2xy-y2C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2D.(-x+y)2=x2-2xy+y2解析:A.(x+y)2=x2+2xy+y2,故本选项错误;B.(x-y)2=x2-2xy+y2,故本选项错误;C.(x+2y)(x-2y)=x2-4y2,故本选项错误;D.(-x+y)2=(x-y)2=x2-2xy+y2,故本选项正确.故选D.2.在下列各式中,与(a-b)2一定相等的是()A.a2+2ab+b2B.a2-b2C.a2+b2D.a2-2ab+b2解析:(a-b)2=a2-2ab+b2.故选D.3.(x+y+z)2=()2+2y()+y2,两个括号内应填()A.x+yB.y+zC.x+zD.x+y+z解析:(x+y+z)2=(x+z)2+2y(x+z)+y2.故选C.4.计算.(1)(a+6)2;(2)(b-5)2;(3)(-2a+5)2;(4)(ab+1)(ab-1);(5)(2a-3b)(3b+2a);(6)(-2b-5)(2b-5);(7)(2a+5b)2;(8)(4a-3b)2;(9)(-2a-1)2.解析:(1)(7)(9)根据和的完全平方公式可得答案;(2)(3)(8)根据差的平方等于平方和减积的二倍可得答案;(4)(5)(6)根据平方差公式可得答案.解:(1)原式=a2+12a+36.(2)原式=b2-10b+25.(3)原式=4a2-20a+25.(4)原式=(ab)2-1=a2b2-1.(5)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.(6)原式=(-5)2-(2b)2=25-4b2.(7)原式=(2a)2+22a5b+(5b)2=4a2+20ab+25b2.(8)原式=(4a)2-2(4a)(3b)+(3b)2=16a2-24ab+9b2.(9)原式=(2a)2+2(2a)1+12=4a2+4a+1.14.2.2完全平方公式公式的推导法则公式去括号法则例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第110页练习第1,2题.2.教材第111页练习第1,2题.【选做题】教材第112页习题14.2第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下面添括号正确的是()A.2a-3b+c-=-B.x2-2x-y+2x3-2y=-2x-(y-2y)-(-x2-2x3)C.(a-b)(b-c)(c-a)=-(a-b)-(b-c)-(c-a)D.(a-b-c)(a+b-c)=a-(b-c)a+(b-c)2.计算(x-2y)2的结果是()A.x2+4y2B.x2-4y2C.x2-2xy+4y2D.x2-4xy+4y23.若(x-2y)2=(x+2y)2+m,则m等于()A.4xyB.-4xyC.8xyD.-8xy4.下列各式的计算中,正确的是()A.(3a4)3=9a12B.(2a2+b)2=4a2+4a2b+b2C.(a-b)3=-(b-a)3D.(-a-b)2=(a-b)25.图(1)是一个长为2m,宽为2n(mn)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是()A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2D.m2-n2【能力提升】6.用1张边长为a的正方形纸片,4张宽、长分别为a,b(ba)的矩形纸片,4张边长为b的正方形纸片,正好拼成一个大正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),则拼成的大正方形边长为()A.a+b+2abB.2a+bC.a2+4ab+4b2D.a+2b7.已知a+2b=10,ab=9,求a2+4b2,(a-2b)2的值.【拓展探究】8.阅读材料并回答问题.我们知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示.(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式:;(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.【答案与解析】1.A(解析:A.正确;B.x2-2x-y+2x3-2y=-2x-(y+2y)-(-x2-2x3),故不对;C.(a-b)(b-c)(c-a)=-(a-b)-(b-c)(c-a),故不对;D.(a-b-c)(a+b-c)=a-(b+c)a+(b-c),故不对.故选A.)2.D(解析:(x-2y)2=x2-2x2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.故选D.)3.D(解析:(x-2y)2=x2-4xy+4y2=x2-8xy+4xy+4y2=(x+2y)2-8xy,m=-8xy.故选D.)4.C(解析:A.应为(3a4)3=27a12,故本选项错误;B.应为(2a2+b)2=4a4+4a2b+b2,故本选项错误;C.(a-b)3=-(b-a)3,正确;D.应为(-a-b)2=(a+b)2,故本选项错误.故选C.)5.C(解析:由题意可得,正方形的边长为(m+n),故正方形的面积为(m+n)2,又原矩形的面积为4mn,中间空的部分的面积=(m+n)2-4mn=(m-n)2.故选C.)6.D(解析:1张边长为a的正方形纸片的面积是a2,4张宽、长分别为a,b(ba)的矩形纸片的面积是4ab,4张边长为b的正方形纸片的面积是4b2,a2+4ab+4b2=(a+2b)2,拼成的正方形的边长为a+2b.故选D.)7.解:a+2b=10,ab=9,a2+4b2=(a+2b)2-4ab=102-49=64.(a-2b)2=(a+2b)2-8ab=102-89=28.8.解:(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2(2)答案不唯一,如图(1)所示.(3)答案不唯一,恒等式是(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2,几何图形如图(2)所示.在教学过程中,教师以学生自主探索为主,通过复习提问导入新课,让学生通过观察类比总结出完全平方公式,并且通过图形面积的关系推导出两数和的平方公式.整个过程,关注学生对公式的理解,关注学生运算的合理性,关注学生对符合完全平方公式计算的多项式乘法观察的敏锐性,熟练运用完全平方公式进行简单的计算.通过对例题的教学,提高了学生对公式的理解.对于三个数和的平方,转化为两个数和的平方,体现了转化的思想.并且在此过程中学习了添括号的方法,学生的积极性较高,增强了学生应用公式解决问题的能力.通过课堂小结,进一步巩固了学生对两数和的平方公式的理解和应用.1.学生对三个数和的平方计算不准确,教师在此环节中指导上有些欠缺.2.对于添加括号的方法掌握不好,教师没有在这一环节增加练习,使学生对知识理解不够好,因此在计算三个数和的平方,或差的平方时掌握不好.对于完全平方公式中,如果有三个数,可以把其中任意两数看成一个整体,一定要注意符号的变化,在计算的时候,千万不要漏项.对于添加括号这一知识,要出几道题让学生加以练习,体会去括号和添括号的区别和联系.练习(教材第110页)1.(1)原式=x2+2x6+62=x2+12x+36.(2)原式=y2-2y5+52=y2-10y+25.(3)原式=(-2x)2+2(-2x)5+52=4x2-20x+25.(4)原式=x2-2xy+y2=x2-xy+y2.2.解:(1)错在结果少了2ab项,结果应改为a2+2ab+b2.(2)记错了完全平方公式,结果应改为a2-2ab+b2.练习(教材第111页)1.(1)b-c(2)b-c(3)-b+c(4)-b-c2.解:(1)原式=(a+2b)-12=(a+2b)2-2(a+2b)1+12=a2+4ab+4b2-2a-4b+1.(2)原式=2x+(y+z)2x-(y+z)=(2x)2-(y+z)2=4x2-(y2+2yz+z2)=4x2-y2-2yz-z2.习题14.2(教材第112页)1.解:(1)原式=x2-y2=x2-y2.(2)原式=(xy)2-12=x2y2-1.(3)原式=(2a-3b)(2a+3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.(4)原式=(-5-2b)(-5+2b)=(-5)2-(2b)2=25-4b2.(5)原式=(2000+1)(2000-1)=20002-12=4000000-1=3999999.(6)原式=(1000-2)(1000+2)=10002-22=1000000-4=999996.2.解:(1)原式=4a2+20ab+25b2.(2)原式=16x2-24xy+9y