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抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一、定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f（x）的定义域是2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 。 解：f(x)的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在 中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。例2：已知函数的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域 。评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ ） 2. 。20003、对任意整数函数满足：，若，则 CA.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0解析：先令 三、值域问题（单调性，奇偶性，周期性）例1.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,所以f(x)0.例2、定义在R+上的函数f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)故f(x1)f(x2),即f(x)是R+上的增函数.(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性质,得fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得 30时f(x)0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R上为增函数。 3、已知偶函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法)例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0u2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例6、设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解:- （2）-（3）小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。七、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴是偶函数；对称中心（a,0）是奇函数2T=对称轴；对称中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x)=T=2f(x)= b-f(-x+a)对称中心6f(x)=1-T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）八、综合问题例21. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例22.设定义在R上的函数f(x),满足当x0时,f(x)1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先证f(x)0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0时f(x)1,所以f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)0,任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10. 所以xR时,f(x)为增函数. 解得:x|1x0.求证:()f(x)是奇函数； （）解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 高三数学总复习函数专题抽象函数一、选择题：1、已知是上的增函数，若令，则是上的（ ）A减函数B增函数C先减后增的函数D先增后减的函数2定义在的函数满足，则等于（ ） A2 B3 C6 D93、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 的图象关于直线对称，则的值为 （ ）A2 B1 C0 D不能确定4、定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为（ ）A恒大于零 B恒小于零C可能为零 D可正可负5、已知函数对于任意，有，且，则的值为（ ）A2 B C D二、填空题：6、若函数满足，且对任意都有，则 。7、定义在上的函数的图象关于点中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为 。8、函数对于任意实数满足条件，若则_。 9、若，则（1）函数的一个周期为 ；（2）函数的一个周期为 .10、若函数则的值为 。三、解答题：11、已知函数对任意非零实数都有，且时,。（1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数在上的值域；（3）解不等式。12、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。（1）求的值；（2）判断的单调性并证明的你的结论；（3）设,若,试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数。高三数学总复习函数专题抽象函数一、选择题：1、已知是上的增函数，若令，则是上的（ ）A减函数B增函数C先减后增的函数D先增后减的函数解：（1）特例：满足条件的函数，如；（2），是将函数的图象关于轴对称，再右移一个单位得到，单调递减，是将函数向左移动一个单位得到，在关于轴对称，单调递减，故选。2、定义在上的函数满足（），则等于 （ ）A2 B3 C6 D9解：（1）设函数为，由得到，又由，知，；（2）所以；（3）3、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 的图象关于直线对称，则的值为 （ ）A2 B1 C0 D不能确定解：因为函数是定义在上的奇函数，所以， 关于点（1，0）对称. 因此，关于（0，1）对称 即 故4、定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为 （ ）A恒大于零 B恒小于零C可能为零 D可正可负解：有，知中有一个小于2，一个大于2，不妨设，又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以，所以，故选。5、已知函数对于任意，有，且，则的值为A2 B C D解：，二、填空题：6、若函数满足，且对任意都有，则 。解：（1）令再令，（2）令，略。7、定义在上的函数的图象关于点中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为 。解：由函数的图象关于点中心对称，得，又由，所以，为偶函数，令，由，得；令，由，得，8、函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由，得,9、若，则（1）函数的一个周期为 ；（2）函数的一个周期为 .解：，把2x-3看成函数的自变量，则得函数的一个周期为9； 所以，函数的一个周期为.10、若函数则的值为 。解：三、解答题：11、已知函数对任意非零实数都有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）若在上是单调递增函数，且，解不等式。解：（1）令再令令，得为偶函数（2）又且在上是单调递增函数解得故不等式的解集为12、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。（1）求的值；（2）判断的单调性并证明的你的结论；（3）设,若,试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数。解：（1）令（2）任取令令（或）函数在上单调递减。（4）如备选题：设函数定义在上