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梅涅劳斯定理及其应用（姓名）摘要：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。关键词：共线、共点、应用 一、 梅涅劳斯定理1定理 设分别是的边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则三点共线的充要条件是2定理的证明证明1：不妨设中的一点在边的延长线上（如图所示）。若三点共线，过引交于，则 故 .反之，若成立，设直线与的延长线交于，即，三点共线，则由上面的证明有与比较，可得，即与重合，故三点共线。若三点均在边的延长线上，上面的证明仍然适用。注：“三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十分必要，否则梅捏劳斯定理不成立证明2：（正弦定理）如图，令，在中，由正弦定理知：，同理，即.3、梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点、分别在的三边、或其延长线上，且满足，那么、三点共线。 注：利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线二、 梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理的应用定理1 若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、三点共线。证明：由三角形内、外角平分线定理知， ，则，故、三点共线。梅涅劳斯定理的应用定理2 过任意的三个顶点、作它的外接圆的切线，分别和、的延长线交于点、，则、三点共线。证明：是的切线，则，同理：，故、三点共线。例1 已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.求证：.证明：直线截，由梅涅劳斯定理，得：又，则例2 已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、.求证：.证明：连接并延长交于，则，截，由梅氏定理得，；同理：，即例3 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I。在ECD与FAB中分别使用梅涅劳斯定理，得 ， .因为AB/CD，所以， .从而，即，故CI=AJ. 而，且BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以BM=DL。例4 若三角形ABC的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则三点共线。证明：由三角形内、外角平分线定理知，则 故三点共线。 通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单介绍，我们可以看
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