高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系学案（含解析）新人教A版必修4.doc

1.2.2同角三角函数的基本关系班级:_姓名:_设计人:_日期:_课前预习 预习案温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。哈菲兹学习目标 1理解同角三角函数的基本关系.2会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点 同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点 会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习 同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系： .tan= 预习评价 1已知是第一象限角且 ，则cos.2化简： = .3已知3sin+cos=0，则tan = .知识拓展 探究案合作探究 1同角三角函数基本关系设角 是一个任意象限角，点p(x，y)为角终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= 0)，那么： ，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2+cos2与 的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,tan 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨 对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230+cos2601.(2)同角不要拘泥于形式，将 换成 或2也成立，如 .(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos 0，即 交流展示利用基本关系求值 1已知sin-cos=-54,则sincos=( )a.74b.-916c.-932d.9322已知sin=45,(2,)，则tan等于a.b.-34c.34d.433(1+tan2)cos2=_4已知是第二象限角, tan=-12,则cos= 变式训练 1(2011山东省潍坊市月考)已知 cos -sin =-12,则sin cos 的值为()a.38b.38c.34d.342已知tan =-2,且2,则cos +sin =.交流展示三角函数式的化简 5若sin+cossin-cos=12，则sincos=a. -34b. -310c. -43d.436当角的终边在直线3x+4y=0上时,sin +cos =a.0b.34c.15d.157(2012聊城测试)已知tan ,1tan是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且372,则cos +sin =.变式训练 已知tan=2，求(1)cos+sincos-sin；(2)sin2-sin.cos+2cos2的值.交流展示三角恒等式的证明 8求证：1+cosxsinx=sinx1-cosx.9证明:(1-tan4a)cos2a+tan2a=1.变式训练 求证：1+2sinxcosx1-2sin2x=1+tanx1-tanx学习小结 1三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组 求出sina和cosa的值.若已知tan =m，求形如 的值，其方法是将分子、分母同除以cosa(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如asin2 +bsin cos +ccos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角 的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2=1cos2，cos2=1sin2，1=sin2+cos2，sin=tancos，cos= .3对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测 1已知a为三角形的一个内角，且sinacosa=-18，则cosasina的值为a. -32b. 32c. 52d. -522化简(1+tan2)cos2=_.3已知在abc中，sina+cosa=15.(1)求sinacosa的值.(2)判断abc是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tana的值.知识拓展 在abc中，sina+cosa=22，求tana的值51.2.2同角三角函数的基本关系详细答案课前预习 预习案【自主学习】(1)sin2+cos21(2) 【预习评价】12cos203知识拓展 探究案【合作探究】1(1)sin2+cos2= + = =1， 由以上计算结果可得出以下结论；sin2+cos2=1及tan= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证k+ (kz).2(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示利用基本关系求值】1c【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.两边平方得1-2sincos=2516,sincos=-932.【备注】对于sincos与sincos之间的关系，通过平方可以表达出来.2a【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.已知sin=45,(2,),结合sin2+cos2=1可得cos=-35,所以tan=-43.31【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式=cos2+tan2cos2=cos2+sin2=14-255【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值. tan=sincos=-12,sin=-12cos,又sin2+cos2=1,cos2=45, cos0,cos=-255.【变式训练】1a【解析】由已知得(cos -sin )2=sin2+cos2-2sin cos =1-2sin cos =14,解得sin cos =38,故选a.255【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan =-2,得sincos=-2,又sin2+cos2=1,且20时,sin =-3t5t=-35,cos =4t5t=45,sin +cos =15;当t0时,sin =-3t-5t=35,cos =4t-5t=-45,sin +cos =-15.7-2【解析】tan 1tan=k2-3=1,k=2,而372,则tan +1tan=k=2,得tan =1,则sin =cos =-22,cos +sin =-2.【变式训练】(1)cos+sincos+sin=1+sincos1-sincos=1+tan1-tan=1+21-2=-3-22；(2)sin2-sincos+2cos2=sin2-sincos+2cos2sin2+cos2=sin2cos2-sincos+2sin2cos2+1=tan2-tan+2tan2+1=2-2+22+1=4-23.【解析】本题考查三角求值问题.由于分子和分母均是关于sin,cos的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以cos(cos0)或cos2,然后将tan=2代入求解即可.【备注】注意到sin2+cos2=1的应用.【交流展示三角恒等式的证明】8证明： 因为，所以.9左边=cos4a-sin4acos4acos2a+sin2acos2a=(cos2a+sin2a)(cos2a-sin2a)cos2a+sin2acos2a=cos2a-sin2acos2a+sin2acos2a=cos2acos2a=1=右边,原等式成立.【变式训练】右边=1+sinxcosx1-sinxcosx=cosx+sinxcosx-sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx)(cosx+sinx)=cos2x+2sinxcosx+sin2xcos2x-sinx2=1+2sinxcosx1-sin2x-sin2x=1+2sinxcos1-2sin2x=左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为sinxcosx,再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用.【当堂检测】1d【解析】由a为三角形的内角且sin acos a=-180，可知sin a0，cos a0，cos asin a0.而（cos a-sin a)2=1-2sin acos a=1-2(-18)=54，cos a-sin a=-52.故选d.213（1）由，两边平方，得，所以.（2）由（1）得.又，所以，所以为钝角.所以是钝角三角形.（3）因为，所以，又，所以，所以.又，所以.所以.【知识拓展】解：sina+cosa=22，(sina+cosa)2=12，即1+2sinacosa=12，2sinacosa=-120a0，cosa0(sina-cosa)2=1-2sinacosa=3