高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性教案 新人教B版必修1.doc

2.1.4 函数的奇偶性教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然三维目标1理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力2学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式课时安排1课时导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数yx2和yx3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性推进新课如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x3210123f(x)x2x3210123f(x)|x|请给出偶函数的定义？偶函数的图象有什么特征？函数f(x)x2，x1,2是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？观察函数f(x)x和f(x)的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：观察图象的对称性学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数利用函数的解析式来描述偶函数的性质：图象关于y轴对称函数f(x)x2，x1,2的图象关于y轴不对称；对定义域1,2内x2，f(2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数x不一定也在定义域内，即f(x)f(x)不恒成立偶函数的定义域中任意一个x的相反数x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质讨论结果：这两个函数之间的图象都关于y轴对称填表如下x3210123f(x)x29410149x3210123f(x)|x|3210123这两个函数的解析式都满足：f(3)f(3)；f(2)f(2)；f(1)f(1)可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)设函数yg(x)的定义域为d，如果对d内的任意一个x，都有xd，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数偶函数的图象关于y轴对称不是偶函数偶函数的定义域关于原点轴对称设函数yf(x)的定义域为d，如果对d内的任意一个x，都有xd，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称思路1例1判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)xx3x5；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(4)f(x)x2，x1,3解：(1)函数f(x)xx3x5的定义域为r，当xr时，xr.因为f(x)xx3x5(xx3x5)f(x)，所以函数f(x)xx3x5是奇函数(2)函数f(x)x21的定义域为r，当xr时，xr.因为f(x)(x)21x21f(x)，所以f(x)x21是偶函数(3)函数f(x)x1的定义域是r，当xr时，xr.因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，所以f(x)f(x)，f(x)f(x)因此，f(x)x1既不是奇函数也不是偶函数(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在31,3，而31,3，所以f(x)x2，x1,3既不是奇函数也不是偶函数点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求xd，xd，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系作出相应结论：若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数；若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数.变式训练判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x4；(2)f(x)x5；(3)f(x)x；(4)f(x).活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)解：(1)函数的定义域是r，对定义域内任意一个x，都有f(x)(x)4x4f(x)，所以函数f(x)x4是偶函数(2)函数的定义域是r，对定义域内任意一个x，都有f(x)(x)5x5f(x)，所以函数f(x)x5是奇函数(3)函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内任意一个x，都有f(x)x(x)f(x)，所以函数f(x)x是奇函数(4)函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数例2研究函数y的性质并作出它的图象解：已知函数的定义域是x0的实数集，即xr|x0由函数的解析式可以推知：对任意的x值，对应的函数值y0，函数的图象在x轴的上方；函数的图象在x0处断开，函数的图象被分为两部分，且f(x)f(x)，这个函数为偶函数；当x的绝对值变小时，函数值增大得非常快，当x的绝对值变大时，函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴由以上分析，以x0为中心，在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值，计算出对应的y值，列出x，y的对应值表：x3210123y14不存在41在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示由图象可以看出，这个函数在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数点评：当函数yf(x)不是基本初等函数时，通常利用其性质来画其图象，即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点.变式训练画出函数y的图象解：函数定义域是x|x0，值域是y|y0，因此其图象与两坐标轴均无交点又f(x)f(x)函数y是奇函数，其图象关于原点对称利用描点法画出函数y在(0，)上的图象，再作出该部分关于原点的对称图象，这两部分合起来就是函数y的图象如下图所示思路2例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2，x1,2；(2)f(x)；(3)f(x).活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系在(4)中注意定义域的求法，对任意xr，有|x|x，则x0.则函数的定义域是r.解：(1)因为它的定义域1,2不关于原点对称，函数f(x)x2，x1,2既不是奇函数又不是偶函数(2)因为它的定义域为x|xr且x1，并不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数(3)x240且4x20，x2，即f(x)的定义域是2,2f(2)0，f(2)0，f(2)f(2)，f(2)f(2)f(x)f(x)，且f(x)f(x)f(x)既是奇函数也是偶函数点评：本题主要考查函数的奇偶性定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；(2)当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数.变式训练1函数f(x)2x2x4，xa,1a是偶函数，则实数a_.答案：2判断下列函数的奇偶性(1)yx2，x1,1)；(2)yx3；(3)y.答案：(1)非奇非偶函数；(2)奇函数；(3)偶函数.例2已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0，f(2)1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较f()与f()的大小分析：(1)转化为证明f(x)f(x)，利用赋值法证明f(x)f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值(1)证明：令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.令x1x21，得f(1)f1(1)f(1)f(1)，2f(1)0.f(1)0.f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)证明：设x2x10，则f(x2)f(x1)f(x1)f(x1)f(x1)f()f(x1)f()x2x10，1.f()0，即f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f()f()由(2)知f(x)在(0，)上是增函数，则f()f()f()f()点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练已知f(x)是定义在(，)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)、f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由分析：(1)利用赋值法，令xy1得f(1)的值，令xy1，得f(1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(x)f(x)解：(1)f(x)对任意x、y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令xy1时，有f(11)1f(1)1f(1)f(1)0.令xy1时，有f(1)(1)(1)f(1)(1)f(1)f(1)0.(2)是奇函数f(x)对任意x、y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令y1，有f(x)f(x)xf(1)将f(1)0代入得f(x)f(x)，函数f(x)是(，)上的奇函数.1设函数yf(x)是奇函数若f(2)f(1)3f(1)f(2)3，则f(1)f(2)_.解析：函数yf(x)是奇函数，f(2)f(2)，f(1)f(1)f(2)f(1)3f(1)f(2)3.2f(1)f(2)6.f(1)f(2)3.答案：32f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.解析：偶函数定义域关于原点对称，a12a0.a.f(x)x2bx1b.又f(x)是偶函数，b0.答案：03已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()a1b0c1d2解析：f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)f(20)f(0)又f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)0.f(6)0.答案：b问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得正比例函数ykx(k0)是奇函数；反比例函数y(k0)是奇函数；一次函数ykxb(k0)，当b0时是奇函数，当b0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数yax2bxc(a0)，当b0时是偶函数，当b0时既不是奇函数也不是偶函数本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称课本本节练习b1、2.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分