换元积分法和分部积分法PPT课件.ppt

4 2换元积分法和分部积分法 第四章 一 第一类换元积分法 三 分部积分法 IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts 二 第二类换元积分法 1 第二类换元法 第一类换元法 设 可导 则有 基本思路 2 在上次课中 我们学习了 不定积分的概念和性质 给出了 基本积分公式表 但是 对于形如 这样的积分 利用不定积分的性质和基本积分公式表 我们就无能为力了 为此 3 一 第一类换元积分法 定理4 2 1 则有换元 公式 也称配元法 凑微分法 4 例4 2 11 求 2 求 补充例题1求 解 令 则 故 原式 5 补充例题2求 答案 补充例题3求 答案 例4 2 4求 解 例4 2 5求 答案 6 万能凑幂法 常用的几种配元形式 7 解 原式 补充例题4求 自主学习课本P141例4 2 6 例4 2 7 例4 2 8 8 例4 2 9求 解 例4 2 10 解 9 解法2 与课本解法不一样 10 补充例题5求 解 原式 补充例题6求 或 11 解 补充例题7 12 补充例题8 解 13 补充例题9 解 14 解 补充例题10 自主学习课本P141例4 2 11 例4 2 13 15 二 第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则用第二类换元积分法 难求 16 是单调可导函数 且 具有原函数 证明略 详细过程可参见课本P142 则有换元公式 定理4 2 2设 反函数 17 例4 2 14计算1 解 18 19 补充例题11 解 20 2020 1 8 21 22 解 令 则 原式 补充例题12求 自主学习课本P142例4 2 142 23 解 令 则 原式 补充例题13求 自主学习课本P142例4 2 15 24 解 令 则 原式 补充例题14求 25 令 于是 自主学习课本P143例4 2 16 26 或 从上面三个例子 可以看出如果被积函数含有 可作代换 可作代换 可作代换 27 解 于是 28 第二类换元法常见类型 令 令 令 或 令 或 令 或 第三节讲 29 7 分母中因子次数较高时 可试用倒代换 令 2 常用基本积分公式的补充 30 31 前面 我们利用复合函数的求到法则得到了 换元积分法 但是 对于形如 的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算 注意到 这些积分的被积函数都有共同的特点 都是两种不同类型函数的乘积 这就启发我们把两个 这就是另一个基本的积分方法 分部积分法 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分 32 积分得 分部积分公式 或 1 v容易求得 容易计算 由导数乘法公式 33 第四章 IntegrationbyParts 补充例题16 解 令 则 原式 另解 令 则 原式 三 分部积分法 答案 34 一般说来 当被积函数为下列形式之一时 可考虑 运用分部积分法进行计算 幂函数与三角函数 或反三角函数 之积 指数函数与三角函数 或反三角函数 之积 幂函数与指数函数之积 指数函数与对数函数之积 一个函数难于用其它方法积分 两个函数的乘积 35 把被积函数视为两个函数之积 按 反对幂指三 的 顺序 前者为后者为 补充例题18求 解 令 则 原式 反 反三角函数对 对数函数幂 幂函数指 指数函数三 三角函数 解题技巧 自主学习课本P144 P145例4 2 18与例4 2 19 36 答案 答案 补充例题22 答案 补充例题23 答案 37 解 令 则 原式 补充例题24 38 解 令 则 原式 再令 则 故原式 说