基本不等式(程琳).ppt

3 4基本不等式 石河子第二中学程琳 2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 探究1 a b 问2 Rt ABF Rt BCG Rt CDH Rt ADE是全等三角形 它们的面积和是S 问1 在正方形ABCD中 设AF a BF b 则正方形的面积为S 问3 S与S 有什么样的关系 从图形中易得 s s 即 探究1 探究2 问4 那么它们有相等的情况吗 何时相等 图片说明 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形EFGH缩为一个点 这时有 a b 形的角度 数的角度 当a b时a2 b2 2ab a b 2 0 重要不等式 若a b R 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 取 号 基本不等式 概念 1 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 几何解释 半径不小于半弦 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 当且仅当x y时等号成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 结论1 两个正变量积为定值 则和有最小值 当且仅当两个正变量相等时取最值 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 18 2 9 得xy81 当且仅当x y 即x y 9时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 结论2 两个正变量和为定值 则积有最大值 当且仅当两个正变量相等时取最值 应用基本不等式求最值的条件 a与b为正实数 若等号成立 a与b必须能够相等 一正 二定 三相等 积定和最小和定积最大 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的造价为120元 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 分析 水池呈长方体形 它的高是3m 底面的长与宽没有确定 如果底面的长与宽确定了 水池的总造价也就确定了 因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低 解 设底面的长为xm 宽为ym 水池总造价为z元 根据题意 有 由容积为4800m3 可得 3xy 4800因此xy 1600由基本不等式与不等式的性质 可得即当x y 即x y 40时 等号成立所以 将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低 最低总造价为297600元 学生活动 1 x 0时 当x取什么值时 x 1 x的值最小 最小值是多少 2 直角三角形的面积为50 两条直角边各为多少时 两直角边的和最小 最小值为多少 3 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形 应当怎样折 4 做一个体积为32 高为2m的长方形纸盒 底面长和宽取什么值时用纸最少 1 两个不等式 重要不等式 基本不等式 当且仅当a b时 等号成立注意 1 两公式条件 前者要求a b为实数 后者要求a b为正数 2 公式的正向 逆向使用的条件以