高中数学 1.1 空间几何体 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课堂探究 新人教B版必修2.doc

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课堂探究探究一 棱柱、棱锥、棱台的面积问题对于多面体，只有直棱柱，正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积，其余多面体的侧面积要把每个侧面积求出来再相加，求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积【典型例题1】 如图所示，正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，求该正四棱锥的侧面积和表面积思路分析：根据多面体的侧面积公式，必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解解：正四棱锥的高po，斜高pe，底面边心距oe组成一个rtpoe因为oe2 cm，ope30，所以pe4(cm)因此s正四棱锥侧ch44432(cm2)，s正四棱锥表s正四棱锥侧s正四棱锥底324448(cm2)点评解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素，再代入面积公式求解空间几何体的表面积运算，一般先转化为平面几何图形的运算，再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算【典型例题2】 已知正六棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm，高是1 cm，求它的侧面积解：如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分(其余部分省略)，则侧面abb1a1为等腰梯形，oo1为高，且oo11 cm，ab1 cm，a1b12 cm，取ab和a1b1的中点c，c1，连接oc，cc1，o1c1，则cc1为正六棱台的斜高，且四边形oo1c1c为直角梯形根据正六棱台的性质可得，ocab (cm)，o1c1a1b1(cm)，所以cc1 (cm)又知上、下底面周长分别为c6ab6(cm)，c6a1b112(cm)，斜高hcc1cm所以正六棱台的侧面积为s正六棱台侧(cc)h(612)(cm2)点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似，除了利用相对应的侧面积公式，也要利用正棱台中的核心直角梯形探究二 圆柱、圆锥、圆台的面积问题1圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：s圆柱侧2rl，s圆锥侧rl，s圆台侧(r1r2)l，如上图，当r1变化时，相应的图形也随之变化，当r10，r2r时，相应的圆台就转化为圆锥，而当r1r2r时，相应的圆台就转化为圆柱，相应的侧面积公式也随之变化圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为s圆柱侧2rls圆台侧(r1r2)ls圆锥侧rl2对于圆锥还要明确如下结论：(1)圆锥的侧面展开图是扇形(2)圆锥的底面周长扇形的弧长(3)圆锥的母线长扇形的半径(4)s扇形(其中n为扇形圆心角的度数，r为扇形的半径)【典型例题3】 (1)圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为()a12 b24 c15 d30解析：作圆锥轴截面如图，高ad4，底面半径cd3，则母线ac5，得s侧3515答案：c(2)矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()a12 b11 c14 d13解析：以边长1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积s12214，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积s22124，故s1s211，选b答案：b探究三 球的切接问题对球的表面积公式的考查，通常与球的性质结合在一起与其他多面体和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式常见的有关球的一些性质：(1)长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线(2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径【典型例题4】 (1)已知长方体的长、宽、高分别为2,3,6，则其外接球的表面积为()a196 b49 c44 d36解析：长方体的体对角线长为7，所以其外接球的直径为2r7，即r，所以它的表面积为4r249故选b答案：b(2)已知圆台内有一表面积为144 cm2的内切球，如果圆台的下底面与上底面半径之差为5 cm，求圆台的表面积解：其轴截面如图所示，设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，球半径为r，则r2r15，母线lr1r2因为4r2144，所以r6又l2(2r)2(r2r1)2，所以(r1r2)2(2r)2(r2r1)2(26)252132所以r1r213结合r2r15得r14，r29，所以l13所以s圆台表(r1r2)l4292(49)13266(cm2)探究四 易错辨析易错点：因考虑不全面而致误【典型例题5】 用互相平行且距离为27的两个平面截球面，两个截面圆的半径分别为r115，r224，试求球的表面积错解：设球的半径为r，由题意可设球心到两平行平面的距离为oo1d1，oo2d2，如图所示，可得d1，d2，r之间的关系：所以225576(27d1)2，解得d120，d27，r25所以s球4r22 500错因分析：错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况，还应该讨论两平行平面位于球心同侧的情况正解：设球的半径为r，球心o到两平行截面的距离分别为oo1d1，oo2d2(1)当两平行截面位于球心o异侧时，如图，则所以225576(