信号与系统第4章(4.5-4.6).ppt

4 5系统微分方程的S域解 设二阶连续系统的微分方程为 式中 a0 a1和b0 b1均为实常数 f t 为因果信号 因此 f 0 f 0 均为零 设初始时刻t0 0 对微分方程两端取单边拉氏变换 根据时域微分性质 有 整理 得 分别令 可得 初始条件引起 激励引起 系统的特征多项式 特征方程 特征根就是极点 对Y s 取拉氏逆变换 得到系统响应为 零输入响应 零状态响应 设n阶连续系统的微分方程为 n阶系统的系统函数为 对照微分方程和系统函数可看出传输算子与系统函数 有如下对应关系 对n阶连续系统的微分方程 通过拉氏变换求解系统 响应的过程与二阶系统完全相同 注意 初始条件的考虑 可见 通过拉氏变换可将微分方程转化为代数方程 例 已知线性系统的微分方程为 求零输入响应yx t 零状态响应yf t 和完全响应y t 激励和初始条件为 解 对系统微分方程取单边拉氏变换 有 整理 激励f t 的单边拉氏变换为 将初始条件和激励带入可得 完全响应 零输入响应 零状态响应 总结 微分方程的S域解法 通过对微分方程取拉氏变换 将时域的微积分运算转化为S域的代数运算 并且 利用拉氏变换的微分性质带入初始条件 能直接 求解系统的完全响应 习题 204页4 16 解 初始条件相同时 零输入响应相同 同一个系统 系统函数H s 相同 激励为时 响应的拉氏变换为 激励为时 响应的拉氏变换为 由 可解得 激励为时 响应的拉氏变换为 激励为时 响应的拉氏变换为 4 6RLC系统的S域分析 一 电流 电压平衡方程的S域形式 时域形式 S域形式 二 系统元件的S域模型 1 电阻元件 R R的时域和S域模型 a 时域模型 b S域模型 2 电感元件 L 初始条件为时 对上式取拉氏变换 与元件串联的电压源 与元件并联的电流源 电感元件的非零状态S域模型 a 串联模型 b 并联模型 电感L的时域和零状态S域模型 a 时域模型 b 零状态S域模型 3 电容元件 C 初始条件为时 对上式取拉氏变换 与元件并联的电流源 与元件串联的电压源 电容元件的非零状态S域模型 a 串联模型 b 并联模型 电容元件的时域和零状态S域模型 a 时域模型 b 零状态S域模型 结论 S域求解RLC电路时 电感元件和电容元件的 初始条件 可表示为与元件串联的电压源或 与元件并联的电流源 等效的激励 三 RLC系统的S域模型及分析方法 RLC电路的零输入响应求解 不考虑激励 将初始条件转换为与元件串联的电压源 或与元件并联的电流源 得到S域模型后求解 RLC电路的零状态响应求解 不考虑初始条件 求解S域电路模型 RLC电路的完全响应求解 同时考虑初始条件和激励 求解S域电路模型 例 图 a 所示RLC系统 us1 t 2V us2 t 4V R1 R2 1 L 1H C 1 t 0时电路已达稳态 t 0时开关S由位置1接到位置2 求t 0时的完全响应iL t 零输入响应iLx t 和零状态响应iLf t 解 1 求完全响应 电感相当于短路 电容相当于开路 时 电路已达稳态 转化为与元件串联的电压 源 得到图 b 电路 将初始条件和 可列出S域的网孔方程为 上式中 2 求零输入响应 S域电路模型如图