（全国版）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算课时提升作业 理.doc

平面向量的概念及其线性运算(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()a.若a与b都是单位向量,则a=bb.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同c.若a+b=0,则|a|=|b|d.若a-b=0,则a与b是相反向量【解析】选c.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以a不正确;因为0的方向是任意的,当a=b=0时,b不正确;因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故c正确;因为a-b=0,所以a=b,a与b不是相反向量,故d不正确.【误区警示】解答本题易误选b,出错的原因是忽视了0方向的任意性.2.(2016汉中模拟)已知点d是abc的边ab的中点,则向量等于()a.-+b.-c.-d.+【解析】选a.因为点d是ab的中点,所以=+=+=-+.【加固训练】如图,正六边形abcdef中,+=()a.0b.c.d.【解析】选d.因为六边形abcdef是正六边形,所以+=+=+=,故选d.3.(2016长沙模拟)已知点p是四边形abcd所在平面内的一点,若=(1+)-,其中r,则点p一定在()a.ab边所在的直线上b.bc边所在的直线上c.bd边所在的直线上d.四边形abcd的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式=(1+)-进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点p的位置.【解析】选c.因为=(1+)-,所以-=(-),所以=,所以b,d,p三点共线,因此点p一定在bd边所在的直线上.4.(2016石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()a.a+b=0 b.a=b c.a与b共线反向 d.存在正实数,使a=b【解析】选d.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故d正确.【加固训练】1.已知下列结论已知a是非零向量,r,则a与2a方向相同已知a是非零向量,r,则|a|=|a|若r,则a与a共线若a与b共线,则存在r,使a=b其中正确的个数为()a.0b.1c.2d.4【解析】选b.对于,当=0时,2a是零向量,0的方向是任意的,所以不正确;对于,0时,结论不成立,即不正确;对于,不论是否为零,或a是否为0,a与a都共线,所以正确;对于,当a0,b=0时,结论不正确.2.(2016淮南模拟)在平行四边形abcd中,点e是ad的中点,be与ac相交于点f,若=m+n(m,nr),则的值为()a.-2b.-c.2d.【解析】选a.如图.设=a,=b,则=ma+nb,=-=b-a,由向量与共线可知存在实数,使得=,即ma+nb=b-a,又a与b不共线,则所以=-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选a.如图,因为e是ad的中点,efabfc,所以=.所以=(-)=(-)=-.又因为=m+n,与不共线,所以m=,n=-,=-2.5.已知d为abc的边ab的中点.m在dc上且满足5=+3,则abm与abc的面积比为()a.b.c.d.【解题提示】只要结合图形,明确dm与dc之比即可,故利用已知转化为与之间的关系.【解析】选c.如图,由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-),即2=3,故=,故abm与abc同底且高的比为35,故sabmsabc=35.【加固训练】设o在abc的内部,d为ab的中点,且+2=0,则abc的面积与aoc的面积的比值为()a.3b.4c.5d.6【解析】选b.因为d为ab的中点,则=(+),又+2=0,所以=-,所以o为cd的中点.又因为d为ab的中点,所以saoc=sadc=sabc,则=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016郑州模拟)在abcd中,=a,=b,3=,m为bc的中点,则=.(用a,b表示)【解析】如图所示.=+=+=+(+)=+(+)=b-a-b=-a-b.答案:-a-b【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】在abc中,=c,=b,若点d满足=2,则=.【解析】如图,因为在abc中,=c,=b,且点d满足=2,所以+=2(+),=+=b+c.答案:b+c7.已知d为三角形abc的边bc的中点,点p满足+=0,=,则实数的值为.【解析】如图,由+=0,得=+,因为=,d是bc边的中点,所以+=2,=2,=-2,故=-2.答案:-28.在abc中,已知d是ab边上一点,=+,则实数=.【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,d是ab边上一点,过点d作debc,交ac于点e,过点d作dfac,交bc于点f,连接cd,则=+.因为=+,所以=,=.由adeabc,得=,所以=,故=.答案:【一题多解】解答本题还可用如下解法:如图,设=x,因为=-,所以=x(-),=+=+x(-)=x+(1-x),又因为=+,所以+=x+(1-x).因为与不共线,所以即=.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016太原模拟)在abc中,n是ac边上一点,且=,p是bn上的一点,若=m+,则实数m的值为()a.b.c.1d.3【解析】选b.如图所示.设=,则=+=+=+(-)=+(-)=(1-)+,因为=,所以=,所以1-=,所以m=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选b.如图,因为=,所以=,=m+=m+,因为b,p,n三点共线,所以m+=1,所以m=.2.(5分)o是abc所在平面外一点且满足=+(+),为实数,则动点p的轨迹必经过abc的()a.重心b.内心c.外心d.垂心【解题提示】明确与是,方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为与+共线后可解.【解析】选b.如图,设=,=,已知,均为单位向量,故aedf为菱形,所以ad平分bac,由=+得=,又与有公共点a,故a,d,p三点共线,所以p点在bac的平分线上,故动点p的轨迹经过abc的内心.【加固训练】已知a,b,c是平面上不共线的三点,o是abc的重心,动点p满足=(+2),则点p一定为三角形abc的()a.ab边中线的中点b.ab边中线的三等分点(非重心)c.重心d.ab边的中点【解析】选b.设ab的中点为m,则+=,所以=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,又与有公共点p,所以p,m,c三点共线,且p是cm上靠近c点的一个三等分点.3.(5分)已知点d,e,f分别为abc的边bc,ca,ab的中点,且=a,=b,给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确命题的序号为.【解析】=a,=b,=+=-a-b,故错;=+=a+b,故正确;=(+)=(-a+b)=-a+b,故正确;+=-b-a+a+b+b-a=0.故正确.答案:4.(12分)已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设tr,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使c,d,e三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.【解析】由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,c,d,e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,因为a,b不共线,所以有解之得t=.故存在实数t=使c,d,e三点在一条直线上.5.(13分)(2016衡阳模拟)如图,在平行四边形abcd中,o是对角线ac,bd的交点,n是线段od的中点,an的延长线与cd交于点e,若=m+,求实数m的值.【解析】由n是od的中点得=+=+(+)=+,又因为a,n,e三点共线,故=,即m+=,所以解得故实数m=.【加固训练】已知abc中,=a,=b,对于平面ab