高中数学 3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题例题与探究素材 新人教B版必修5.doc

3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典题精讲例1 设变量x、y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为( )a.2 b.3 c.4 d.9思路解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域,然后画出一组与2x+y=0平行的直线经过平移即可得到对应的最优解.如图3-5-1,在坐标系中画出可行域abc，a(2，0)，b(1，1)，c(3，3)，则当(x,y)为b点时,目标函数z=2x+y的最小值为3.图3-5-1答案：b绿色通道：根据不等式组表示的平面区域画出平面区域,写出目标函数,画出与目标函数平行的一组直线,在可行域内平行移动即可得出目标函数的最大值和最小值.变式训练1 已知x和y是正整数，且满足约束条件则z=2x+3y的最小值是( )a.24 b.14 c.13 d.11.5思路解析：画出可行域：如图3-5-2所示,易得b点坐标为（6，4）,且当直线z=2x+3y过点b时z取最大值，此时z=24.点c的坐标为（3.5，1.5），当直线过点c时z取得最小值，图3-5-2但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为14.答案：b变式训练2 在约束条件下，当3x5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是( )a.6,15 b.7,15 c.6,8 d.7,8思路解析：如图3-5-3所示,由两直线及与坐标轴的交点为a(2,0),b(4-s,2s-4),c(0,s),c(0,4)，图3-5-3（1）当3s4时,可行域是四边形oabc，此时，当直线经过b点时取最大值,且7z8.（2）当4s5时,可行域是oac,此时，zmax=8.答案：d例2 画出2x-3y3表示的平面区域，并求出所有的正整数解.思路分析：首先把不等式转化为一个不等式组画出对应的平面区域,然后根据可行域找出整点.解：由于2x-3y3平面区域如图3-5-4所示：图3-5-4而其中的正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）共5组.黑色陷阱：如果不考虑等号与曲线的虚实很容易画出如图3-5-5所示的平面区域图：图3-5-5从而得到正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3）共7组.其错误的主要原因是没有注意到边界y=2x-3是虚线，从而导致后续解答的错误.变式训练 (2006山东高考，理11)某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z=10x+10y的最大值是( )a.80 b.85 c.90 d.95思路解析：画出可行域,如图3-5-6所示：图3-5-6易得a（5.5，4.5）.xz,yz,当直线z=10x+10y过(5,4)点时，z取得最大值，此时z=90.答案：c例3 已知则x2+y2的最小值是_.思路解析：画出不等式组所表示的可行域，注意式子x2+y2的几何意义:可行域内一点m到坐标原点o的距离的平方，利用数形结合解决相关问题.由画出可行域如图3-5-7所示，得交点a(1，2)，b(3，4)，则x2+y2的最小值是5.图3-5-7答案:5绿色通道：在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.应熟练掌握以下式子的几何意义：（1）形如的式子，表示动点m(x,y)和定点n(a,b)连线的斜率k.（2）形如的式子，表示动点m(x,y)到定点n(a,b)的距离|mn|；而(x-a)2+(y-b)2表示动点m(x,y)到定点n(a,b)的距离的平方，即|mn|2.（3）形如的式子，表示动点m(x,y)到直线ax+by+c=0的距离d；而|ax+by+c|表示.黑色陷阱：混淆x2+y2的几何意义，把它看成可行域内一点m到坐标原点o的距离.在解决相关问题时，一定先搞清式子的几何意义.变式训练1 (2006浙江高考，文9理4)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )a. b.4 c. d.2思路解析：如图3-5-8所示,由题知可行域为abc，sabc=4.图3-5-8答案：b变式训练2 已知点p(x,y)的坐标满足条件点o为坐标原点，那么|po|的最小值等于_,最大值等于_.思路解析：画出可行域，如图3-5-9所示：图3-5-9易得a（2，2），oa=.b（1，3），ob=.c（1，1），oc=.所以|op|的最大值为，最小值为.答案: 例4 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不小于15 t的产量，已知每生产甲产品1 t需煤9 t，电力4 kwh，劳动力3个，可获利7万元；每生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kwh，劳动力10个，可获利12万元；但每天用煤不超过300 t，电力不超过200 kwh，劳动力不超过300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？思路分析：图解法解决线性规划应用问题的步骤：审清题意；适当设出未知数x、y、z；列出含x、y的不等式组（即线性约束条件），列出z=f（x，y）；利用图解法解得最优解；得出结论.解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z万元，则有约束条件：目标函数为z=7x+12y.作出约束条件的可行域如图3-5-10所示.图3-5-10由图分析知，当直线z=7x+12y过m点时，z取得最大值.解方程组求得m（20,24）.zmax=720+1224=428.答：每天生产甲、乙两种产品分别为20 t、24 t时，利润总额最大为428万元.绿色通道：利用线性规划来进行优化设计,解决生活中的实际问题通常有以下几种类型:第一类:给定一定数量的人力、物力资源,分析怎样合理利用这些资源,才能使收到的效益最大;第二类:给定一项任务,分析怎样安排,能使完成这项任务的人力、物力资源最小,还要根据条件求最优解,有时候还要分析整数解.变式训练 (2006四川高考，理8)某厂生产甲产品每千克需用原料a和原料b分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料a和原料b分别为a2、b2千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元.月初一次性购进本月用原料a、b各c1、c2千克.要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为( )a. b.c. d.思路解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为答案：c问题探究问题1 对于简单的线性规划问题,正确判断并画出不等式(组)表示的平面区域是解决问题的关键,那么判断一个不等式(组)对应的平面区域主要有哪些方法?导思：记住有关规律，利用特殊点进行检验是最有效的办法.当两点在一条直线同侧时，符号相同，两点在一条直线异侧时，符号相反.探究：(1)在平面直角坐标系中,已知直线ax+by+c=0,坐标平面内的点p(x0,y0).若b(ax0+by0+c)0,则点p(x0,y0)在直线的上方;若b(ax0+by0+c)0,则点p(x0,y0)在直线的下方.(2)对于方程中的系数b(b0,若b=0,则方程简单化),不外乎两种情况:b0和b0,则根据图形的特点可以得出以下结论:当b0时,ax+by+c0表示直线ax+by+c=0上方的区域;ax+by+c0表示直线ax+by+c=0下方的区域.当b0时,ax+by+c0-ax-by-c0,表示直线下方的区域;ax+by+c0-ax-by-c0,表示直线上方的区域.(3)在实际给出直线的条件下,由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入ax+by+c,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c0或者ax+by+c0表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当c0时,直线不过原点,通常把原点作为此特殊点.问题2 在利用线性规划求解有关应用问题时,有时候需要根据实际情况,最优解要求是整数.那么,怎样才能正确地得