（全国版）2017版高考数学一轮复习 第十二章 平面向量学案 理.doc

第十二章平 面 向 量一、平面向量的实际背景及基本概念1.向量既有_又有_,但两个向量不能比较大小.2.与向量有关的概念:(1)零向量:_的向量,记作0.(2)单位向量:长度等于_个单位长度的向量.(3)向量的模(长度):向量的大小,记作:|.3.两个向量间的关系:(1)相等向量:_的向量.(2)平行向量(共线向量)二、平面向量的线性运算1.向量的加法法则是_法则与_法则.2.共线向量定理:向量a(a0)与b共线,当且仅当有_一个实数,使_.3.向量数乘运算的规律:(1)(a)=_.(2)(+)a=_.(3)(a+b)=_.三、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的_向量a,有且只有一对实数1,2,使a=_.四、平面向量的数量积1.向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积.2.两个向量的数量积:设a与b的夹角为,则ab=_.3.平面两向量数量积的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_.4.几个常用公式:(1)ab_.(2)当a与b同向时,ab=_.当a与b反向时,ab=_.特别地,aa=_=_或|a|=.(3)cos=_(为a与b的夹角).(4)|ab|_|a|b|.5.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab_,ab_.6.向量数量积的运算律:(1)交换律:ab=_.(2)结合律:(a)b=_=_.(3)分配律:a(b+c)=_.五、平面向量应用举例用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”1.转化:建立平面几何与向量的联系,用_表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_.2.运算:通过向量_,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.3.翻译:把运算结果“翻译”成几何关系.热点一向量的有关概念辨析问题【例1】给出下列四种说法,其中正确的说法是()a.相等的向量即为模相等的向量b.方向不同的向量也有可能相等c.平行向量即为方向相同的向量d.0平行于任何一个向量热点二向量的线性运算【例2】(1)在abc中,已知点d为边bc的靠近点b的三等分点,设=a,=b,则=()a.a-bb.b-ac.a-bd.b-a(2)已知e为abc的边bc的中点,abc所在平面内有一点p,满足+=0,设=,则的值为()a.2b.1c.d.热点三平面向量的坐标运算【例3】(1)(2011湖南学业水平考试真题)在平面直角坐标系中,o为原点,点p是线段ab的中点,向量=(3,3),=(-1,5),则向量=()a.(1,8)b.(2,4)c.(1,4)d.(2,8)(2)(2015邵阳学业水平模拟)已知向量=(1,0),=(1,1),则|等于()a.1b.c.2d.平面向量坐标运算的技巧(1)进行平面向量坐标运算前,先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.(2)在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的直角坐标运算法则进行计算.(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的应用.热点四共线向量【例4】(1)(2015湖南学业水平考试真题)已知向量a=(1,2),b=(-3,-6),若b=a,则实数的值为()a.b.3c.-d.-3(2)(2015长沙学业水平模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若a,b,d三点共线,则k=_.热点五平面向量的数量积【例5】(1)(2014湖南学业水平考试真题)在abc中,若=0,则abc的形状是()a.直角三角形b.等腰三角形c.锐角三角形d.钝角三角形(2)(2013湖南学业水平考试真题)已知向量a与b的夹角为,|a|=,且ab=4,则|b|=_.向量数量积的运算应注意以下几点(1)的范围为0180.(2)若ab0为锐角或零角,若ab0为钝角或平角.热点六平面向量在几何中的应用【例6】在abc中,d,e,f分别为边ab,bc,ca的中点,g是它的重心,已知d点坐标为(1,2),e点坐标为(3,5),f点坐标为(2,7),求a,b,c,g的坐标.一、选择题1.(考点1,2,3)下列说法正确的是()a.若ab,bc,则acb.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反c.向量的长度与向量的长度相等d.若四边形abcd是平行四边形,则=2.(考点4)+等于()a.b.c.0d.3.(考点9)已知m(3,-2),n(-5,-1)且=,则点p的坐标为()a.(-8,1)b.c.d.(8,-1)4.(考点10)(2013湖南学业水平考试真题)已知向量a=(1,2),b=(x,4),若ab,则实数x的值为()a.8b.2c.-2d.-85.(考点8,9)已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()a.(-2,6)b.(-4,0)c.(7,6)d.(-2,0)6.(考点11,12)(2011湖南学业水平考试真题)已知向量a=(2,1),b=(1,x),若ab,则实数x的值为()a.-2b.-1c.0d.17.(考点11,12)已知ab=-12,|a|=4,a和b的夹角为135,则|b|为()a.12b.3c.6d.98.(考点11)如图,d为等腰三角形abc底边ab的中点,则下列等式恒成立的是()a.=0b.=0c.=0d.=0二、填空题9.(考点10)已知向量a=(4,2),b=(x,3),若ab,则实数x的值为_.10.(考点6,8,9)已知向量a=(3,4),b=(-1,2),c=(5,10),若用a和b表示c,则c=_.11.(考点12)(2015长沙学业水平模拟)若ab=-10,|a|=5,|b|=4,则a,b的夹角为_.12.(考点11,12,13)在平面直角坐标系中,正方形oabc的对角线ob的两端点坐标分别为o(0,0),b(1,1),则=_.三、解答题13.(考点4,7,9)设=(3,1),=(-1,2),试求满足+=的的坐标(o为坐标原点).14.(考点11,12)已知向量a=(-2,-1),b=(,1),且a与b的夹角为钝角,试求实数的取值范围.15.(考点12)平面向量a=(,-1),b=,若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)