（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十三 8.5 曲线与方程 理.doc

课时分层作业 五十三曲线与方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是()a.y=xb.y=|x|c.x2+y2=0d.y2=x2【解析】选d.设动点的坐标为(x,y).因为动点到两坐标轴的距离相等,所以|x|=|y|即y2=x2,动点的轨迹方程是y2=x2.2.(2018南昌模拟)已知点f,直线l:x=-,点b是l上的动点.若过b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m,则点m的轨迹是()a.双曲线b.椭圆c.圆d.抛物线【解析】选d.由已知得|mf|=|mb|.由抛物线定义知,点m的轨迹是以f为焦点,l为准线的抛物线.3.(2018张家口模拟)设线段ab的两个端点a,b分别在x轴、y轴上滑动,且|ab|=5,=+,则点m的轨迹方程为()a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1【解析】选a.设m(x,y),a(x0,0),b(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得由|ab|=5,得+=25,化简得+=1.【变式备选】(2018福州模拟)已知f1, f2分别为椭圆c:+=1的左、右焦点,点p为椭圆c上的动点,则pf1f2的重心g的轨迹方程为()a.+=1(y0)b.+y2=1(y0)c.+3y2=1(y0)d.x2+=1(y0)【解析】选c.依题意知f1(-1,0),f2(1,0),设p(x0,y0),g(x,y),由三角形重心坐标关系可得即代入+=1,得重心g的轨迹方程为+3y2=1(y0).4.在平面直角坐标系xoy中,已知o(0,0),a,曲线c上任一点m满足|om|=4|am|,点p在直线y=(x-1)上,如果曲线c上总存在两点到点p的距离为2,那么点p的横坐标t的范围是 ()a.1t3b.1t4c.2t3d.2t4【解析】选a.设m(x,y),因为m满足|om|=4|am|,x2+y2=16,化简得:(x-4)2+y2=1,所以曲线c:(x-4)2+y2=1,设点p(t,(t-1),只需点p到圆心(4,0)的距离小于2+r即可.所以(t-4)2+2(t-1)2(2+1)2.解得:1t|ab|,所以c点轨迹是以a,b为焦点,6为长轴长,4为焦距的椭圆,去掉长轴端点.【题目溯源】本考题源于教材人教a版选修2-1p37习题2.1a组t3“两个定点的距离为6,点m到这两个定点的距离的平方和为26,求点m的轨迹方程”.【变式备选】在平面直角坐标系中,已知定点a(0,-),b(0,),直线pa与直线pb的斜率之积为-2,则动点p的轨迹方程为()a.+x2=1b.+x2=1(x0)c.-x2=1d.+y2=1(y0)【解析】选b.设动点p(x,y),由题意可知=-2(x0),化简得+x2=1(x0).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018贵阳模拟)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点a(-1,0),b(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_.【解析】设抛物线焦点为f,过a,b,o作准线的垂线aa1,bb1,oo1,则|aa1|+|bb1|=2|oo1|=4,由抛物线定义得|aa1|+|bb1|=|fa|+|fb|,所以|fa|+|fb|=4,故f点的轨迹是以a,b为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y0).答案:+=1(y0)9.在abc中,bc=4,且ab=ac,则三角形abc面积的最大值为_.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则b(-2,0),c(2,0),设点a的坐标为(x,y),由题意有:=,整理可得:(x-4)2+y2=12,结合三角形的性质可得点c的轨迹方程为以(4,0)为圆心,2为半径的圆除去其与x轴的交点,据此可得三角形abc面积的最大值为s=42=4.答案:410.已知椭圆+=1与x轴交于a,b两点,过椭圆上一点p(x0,y0)(p不与a,b重合)的切线l的方程为+=1,过点a,b且垂直于x轴的垂线分别与l交于c,d两点,设cb,ad交于点q,则点q的轨迹方程为_.【解析】椭圆+=1,可得a(-3,0),b(3,0).由x=-3代入切线l的方程+=1,可得y=,即c.由x=3代入切线l的方程+=1,可得y=,即d.可得直线cb的方程为y=(x-3),直线ad的方程为y=(x+3),可得y2=-(x2-9),结合p在椭圆上,可得+=1.即有9-=.代入可得,+y2=1(x3).答案:+y2=1(x3)【变式备选】已知过点a(-2,0)的直线与x=2相交于点c,过点b(2,0)的直线与x=-2相交于点d,若直线cd与圆x2+y2=4相切,则直线ac与bd的交点m的轨迹方程为_.【解析】设直线ac,bd的斜率分别为k1,k2,则直线ac,bd的方程分别为:y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得:c(2,4k1),d(-2,-4k2),则:kcd=k1+k2,直线cd的方程为:y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得:(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直线与圆相切,则:=2,据此可得:k1k2=-,由于:y=k1(x+2),y=k2(x-2),两式相乘可得:y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线ac与bd的交点m的轨迹方程为+y2=1(y0).答案:+y2=1(y0)1.(5分)(2018南昌模拟)已知两定点f1(-1,0),f2(1,0),且|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项,则动点p的轨迹方程是()a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1【解析】选c.由|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项知:|pf1|+|pf2|=4,故动点p的轨迹是以定点f1(-1,0),f2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为+=1.【变式备选】设圆c与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则c的圆心轨迹为()a.抛物线b.双曲线c.椭圆d.圆【解析】选a.由题意知动点c满足:到定点(0,3)的距离比到定直线y=0的距离多1,故其到定点(0,3)与到定直线y=-1的距离相等.所以点c的轨迹为抛物线.2.(5分)(2018洛阳模拟)设过点p(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a,b两点,点q与点p关于y轴对称,o为坐标原点,若=2,且=1,则点p的轨迹方程是 ()a.x2+3y2=1(x0,y0)b.x2-3y2=1(x0,y0)c.3x2-y2=1(x0,y0)d.3x2+y2=1(x0,y0)【解析】选a.设a(a,0),b(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1,将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).3.(5分)(2018承德模拟)已知圆c1:(x+3)2+y2=1和圆c2:(x-3)2+y2=9,动圆m同时与圆c1及圆c2相外切,则动圆圆心m的轨迹方程为_.【解析】如图所示,设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b,则有|mc1|-|ac1|=|ma|,|mc2|-|bc2|=|mb|.又|ma|=|mb|,所以|mc2|-|mc1|=|bc2|-|ac1|=3-1=2,即动点m到两定点c2,c1的距离的差是常数2,且2|mc1|,故动圆圆心m的轨迹为以定点c2,c1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心m的坐标为(x,y),则动圆圆心m的轨迹方程为x2-=1(x-1).答案:x2-=1(x-1)4.(12分)如图所示,已知圆a:(x+2)2+y2=1与点b(2,0),分别求出满足下列条件的动点p的轨迹方程.(1)pab的周长为10.(2)圆p与圆a外切,且过b点(p为动圆圆心).(3)圆p与圆a外切,且与直线x=1相切(p为动圆圆心).【解析】(1)根据题意,知|pa|+|pb|+|ab|=10,即|pa|+|pb|=64=|ab|,故p点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其轨迹方程为+=1(y0).(2)设圆p的半径为r,则|pa|=r+1,|pb|=r,因此|pa|-|pb|=1.由双曲线的定义知,p点的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.(3)依题意,知动点p到定点a的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此其轨迹方程为y2=-8x.5.(13分)在平面直角坐标系中,a(-2,0),b(2,0),p(x,y)满足+=16,设点p的轨迹为c1,从c1上一点q向圆c2:x2+y2=r2(r0)作两条切线,切点分别为m,n,且mqn=60. (1)求点p的轨迹方程和r.(2)当点q在第一象限时,连接切点m,n,分别交x,y轴于点c,d,求ocd面积最小时点q的坐标.【解析】(1)由题知(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得x2+y2=4,所以点p的轨迹方程是x2+y2=4,因为在rtomq中(o为坐标原点),mqo=30,|oq|=2,所以|om|=2sin 30=1,即圆c2的半径r=1.(2)设点q(x0,y0),