（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第29讲 等比数列及其前n项和优选学案.doc

第29讲等比数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系.2017江苏卷，92017北京卷，152016全国卷，172016湖南卷，141.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列2利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.分值：57分1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从_第2项_起，每一项与它的前一项的比等于_同一_常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_公比_，通常用字母_q_表示(2)等比中项如果三个数a，g，b成等比数列，则g叫做a和b的等比中项，那么_，即_g2ab_.2等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，q0，则它的通项公式an_a1qn1_.(2)等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为sn，当q1时，sn_na1_；当q1时，sn_.3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anam_qnm_(n，mn*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)若公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为_qn_.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为0的项()(3)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()(4)g为a，b的等比中项g2ab.()(5)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn.()(6)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.()(7)q1时，等比数列an是递增数列()(8)在等比数列an中，若amanapaq，则mnpq.()解析(1)错误常数列0,0,0，不是等比数列(2)正确由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项(3)错误当q0时，an不是等比数列(4)错误当g2ab0时，g不是a，b的等比中项(5)错误等比数列的通项公式为ana1qn1.(6)错误当a1时，snn.(7)错误当q1，a10时，等比数列递减(8)错误若an1，a1a3a4a51，但1345.2已知数列a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则实数a满足的条件是(d)aa|a1ba|a0或a1ca|a0da|a0且a1解析由等比数列定义可知，a0且1a0，即a0且a1.3设等比数列an的前n项和为sn，若s6s312，则s9s3(c)a12b23c34d13解析由等比数列的性质知s3，s6s3，s9s6仍成等比数列，于是(s6s3)2s3(s9s6)，将s6s3代入得.4在等比数列an中，若a7a125，则a8a9a10a11_25_.解析由等比数列的性质知a8a11a9a10a7a125，a8a9a10a1125.5在等比数列an中，已知a11，a464，则q_4_，s4_51_.解析a4a1q3，q364，q4，s451.一等比数列基本量的求解解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，将q分为q1和q1两种情况进行讨论【例1】 (2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为sn，等比数列bn的前n项和为tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若t321，求s3.解析设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22，得dq3.(1)由a3b35，得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，t321，得q2q200，解得q5或q4.当q5时，由得d8，则s321.当q4时，由得d1，则s36.二等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用【例2】 (1)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2(c)a2b1cd(2)设等比数列an中，前n项和为sn，已知s38，s67，则a7a8a9(a)abcd(3)已知等比数列an中，a4a82，则a6(a22a6a10)的值为(a)a4b6c8d9解析(1)a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2.故选c(2)因为a7a8a9s9s6，在等比数列中s3，s6s3，s9s6成等比数列，即8，1，s9s6成等比数列，所以有8(s9s6)1，即s9s6.故选a(3)a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2，a4a82，a6(a22a6a10)4.故选a三等比数列的判定与证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证【例3】 数列an的前n项和为sn，snann2n1(nn*)(1)设bnann，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列的前n项和tn.解析(1)证明：因为ansnn2n1，所以当n1时，2a11，则a1；当n2时，an1sn1(n1)2(n1)1，所以2anan1n1，即2(ann)an1n1.所以bnbn1(n2)又因为b1a11，所以数列bn是首项为，公比为的等比数列所以bnn.(2)由(1)得nbn，所以tn，2tn1，得tn1，即tn2.1数列an满足an1an1(nn*，r且0)，若数列an1是等比数列，则(d)a1b1cd2解析由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.2设数列an(n1,2,3，)的前n项和sn满足sna12an，且a1，a21，a3成等差数列，则a1a5_34_.解析由sna12an，得ansnsn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，所以a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n，所以a1a522534.3已知正项数列an是首项为2的等比数列，且a2a324.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和tn.解析(1)设正项数列an的公比为q，则2q2q224，q3(q4舍去)，an23n1.(2)bn，tn，tn，由，得tn，tn.4已知数列an的首项a11，an1(nn*)(1)证明：数列是等比数列；(2)设bn，求数列bn的前n项和sn.解析(1)证明：an1，.又a11，数列是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知n1，即，bn.设tn，则tn，得tn1，tn2.又(123n)，数列bn的前n项和sn2.易错点不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号错因分析：等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数【例1】 等比数列an中，a5，a9是方程7x218x70的两个根，试求a7.解析 由韦达定理，得a5a9，a5a91，a50，a90.aa5a91，且a7a5q20，a71.【跟踪训练1】 若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为_，2,2或，2，2_.解析设这五个数依次为a1，a2，a3，a4，a5.aa1a54，且a30，a32.又aa1a32，a2，当a2时，a42；当a2时，a42.所以插入的三个数依次为，2,2或，2，2.课时达标第29讲解密考纲主要考查等比数列的通项公式、等比中项及其性质以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及一、选择题1等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于(a)a24b0c12d24解析由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.2已知等比数列an的前n项和为snx3n1，则x的值为(c)abcd解析当n1时，a1s1x，当n2时，ansnsn1x(3n13n2)2x3n2，因为an是等比数列，所以a1，由得x，解得x.3在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是(b)a2bcd解析根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，因为a3a740，所以a30，a70，即a50，a140，a4a148，a70，a110，则2a7a112228，当且仅当即a72，a114时取等号，故2a7a11的最小值为8.故选b二、填空题7在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_4_.解析设公比为q，则由a8a62a4，得a1q7a1q52a1q3，q4q220，解得q22(q21舍去)，所以a6a2q44.8等比数列的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_5_.解析由等比数列的性质可知a1a5a2a4a，于是由a1a54得a32，故a1a2a3a4a532，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2325.9(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为sn.已知s3，s6，则a8_32_.解析设等差数列an的公比为q，则由s62s3，得q1，则s3，s6，解得q2，a1，则a8a1q72732.三、解答题10已知递增的等比数列an的前n项和为sn，a664，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和tn.解析(1)设等比数列an的公比为q(q0)由题意，得解得或(舍去)，所以an2n.(2)因为bn，所以tn，tn，所以tn，故tn.11已知等比数列an的前n项和为sn，若s1 ,2s2,3s3成等差数列，且s4.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：sn.解析(1)设等比数列an的公比为q，因为s1,2s2,3s3成等差数列，所以4s2s13s3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)，所以a23a3，所以q.又s4，即，解得a11，所以ann1.(2)证明：由(1)得sn.nn*，0n1，01n1，sn.12已知在正项数列an中，a12，点an(，)在双曲线