（全国通用）2017届高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.3 抛物线及其性质专用题组 理 新人教B版.doc

10.3抛物线及其性质考点一抛物线的定义与标准方程8.(2012陕西,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.答案2解析建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x2=-2py.点a(2,-2)在抛物线上,p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=.水位下降1米后,水面宽为2米.评析本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.9.(2012山东,21,13分)在平面直角坐标系xoy中,f是抛物线c:x2=2py(p0)的焦点,m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点,过m,f,o三点的圆的圆心为q,点q到抛物线c的准线的距离为.(1)求抛物线c的方程;(2)是否存在点m,使得直线mq与抛物线c相切于点m?若存在,求出点m的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点m的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线c有两个不同的交点a,b,l与圆q有两个不同的交点d,e,求当k2时,|ab|2+|de|2的最小值.解析(1)依题意知f,圆心q在线段of的垂直平分线y=上,因为抛物线c的准线方程为y=-,所以=,即p=1.因此抛物线c的方程为x2=2y.(2)假设存在点m(x00)满足条件,抛物线c在点m处的切线斜率为y=x0,所以直线mq的方程为y-=x0(x-x0),令y=,得xq=+,所以q.又|qm|=|oq|,故+=+,因此=,又x00,所以x0=,此时m(,1),故存在点m(,1),使得直线mq与抛物线c相切于点m.(3)当x0=时,由(2)得q,q的半径为r=,所以q的方程为+=.由整理得2x2-4kx-1=0,设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+80,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|ab|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.设d,e两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于2=+0,x3+x4=,x3x4=-,所以|de|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=+.因此|ab|2+|de|2=(1+k2)(4k2+2)+.令1+k2=t,由于k2,则t5.所以|ab|2+|de|2=t(4t-2)+=4t2-2t+,设g(t)=4t2-2t+,t,因为g(t)=8t-2-,所以当t时,g(t)g=6,即函数g(t)在t上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此,当k=时,|ab|2+|de|2取到最小值.评析本题考查抛物线的定义、导数及函数的最值等知识,考查学生的运算求解、逻辑推理及分析问题、解决问题的能力,运算能力较差是学生解答本题出错的主要原因.考点二抛物线的几何性质8.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()a.b.c.1d.答案b由抛物线y2=4x,有2p=4p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d=.故选b.评析考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力.9.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线-=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.答案6解析如图,在正三角形abf中,df=p,bd=p,b点坐标为.又点b在双曲线上,故-=1,解得p=6.10.(2013安徽,13,5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于a,b两点.若该抛物线上存在点c,使得acb为直角,则a的取值范围为.答案1,+)解析解法一:如图,以(0,a)为圆心,为半径作圆,当圆与抛物线有三个或四个交点时,c存在.联立y=x2,x2+(y-a)2=a,整理得(y-a)(y-a+