（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题12 导数的应用（含解析）理.doc

考点12 导数的应用1导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数f (x)在区间内的单调性.二、利用导数研究函数的极值和最值1函数的极值一般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f (a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.2函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一 利用导数研究函数的单调性1利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立一般步骤为：（1）求f (x)；（2）确认f (x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论2在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间i上的单调性，区间i中含有参数时，可先求出的单调区间，令i是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 已知函数其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间.若，则.当变化时，的变化情况如下表：+-+所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.若，则.学.科当变化时，的变化情况如下表：+-+所以的单调递增区间是，；的单调递减区间是.典例2 设函数 （1）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】（1）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当，时，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件1已知函数在处的切线方程为（1）求实数的值；（2）若函数，且是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围考向二 利用导数研究函数的极值和最值1函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号（2）求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.2求函数f (x)在a,b上最值的方法（1）若函数f (x)在a,b上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.3利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 （2017北京理科）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是或恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.典例4 已知函数.（1）若是函数的极值点，求实数的值，并讨论的单调性；（2）若是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围（注：已知常数满足）.【解析】（1）是函数的极值点，得，则.（2），设，则，在上单调递增，在上单调递增. 是函数的极值点，是在上的唯一零点，.时，；时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，且.恒成立，.，故.2设.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值.求实数a的取值范围.考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5 设函数（，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是【答案】d对于c,由图可得，适合题意；对于d,由图可得，不适合题意，故选d.3设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为考向四 生活中的优化问题1实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.2实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围典例6 （2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为c,计划修建的公路为l.如图所示,m,n为c的两个端点,测得点m到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点n到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xoy.假设曲线c符合函数(其中a,b为常数)模型. （1）求a,b的值；（2）设公路l与曲线c相切于p点,p的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度. 设在点p处的切线l交x,y轴分别于点a,b,因为函数的导数为,所以切线l的斜率为，所以切线l的方程为,由此得,. 所以. 4某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为v立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）学.（1）将v表示成r的函数v(r)，并求该函数的定义域；（2）讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大1设，则a既是奇函数又是减函数 b既是奇函数又是增函数c是有零点的减函数 d是没有零点的奇函数2若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是a bc d3设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是a函数有极大值和极小值b函数有极大值和极小值c函数有极大值和极小值d函数有极大值和极小值4若直线分别与函数的图象及的图象相交于点和点，则的最小值为a bc d5若在上有两个极值点，则的取值范围为ab cd6设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是a bc d7已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是a bc d8已知函数在处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值. 9已知函数，（为自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围10已知函数有两个零点.（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是的两个零点，证明：.1（2017新课标全国理科）若是函数的极值点，则的极小值为a bc d12（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是3（2017新课标全国理科）已知函数有唯一零点，则a=a bc d14（2017浙江）已知函数f(x)=（x）（）（1）求f(x)的导函数；（2）求f(x)在区间上的取值范围5（2017新课标全国理科）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.6（2017新课标全国理科）已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且7（2016江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？8（2017山东理科）已知函数，其中 是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.变式拓展1【解析】（1）， 在处的切线方程为， 2【解析】（1）由 可得，则，当时，时，函数单调递增；当时，时，函数单调递增，时，函数单调递减.所以当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，.当时，单调递增.所以当时，单调递减.当时，单调递增.所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.3【答案】d【解析】由的图象可知，在x0时是增函数，因此其导函数在x0（即全部在x轴上方），因此排除a、c.从函数的图象上可以看出，在区间上，函数是增函数，0；在区间上，函数是减函数，0，故选d. 4【解析】（1）因为蓄水池侧面的总成本为元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又由题意得200rh160r212000，所以h(3004r2)，从而v(r)r2h(300r4r3)因为r0，又h0，所以可得，故函数v(r)的定义域为(0,)（2）因为v(r)(300r4r3)，故v(r)(30012r2)令，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，故v(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,)时，v(r)0，故v(r)在(5,)上为减函数由此可知，在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大考点冲关1【答案】b【解析】因为，所以是奇函数.又，所以单调递增，故既是奇函数又是增函数.2【答案】c【解析】因为，所以由题设在上恒成立，得，解得.故选c.3【答案】d 4【答案】d【解析】令,所以,则当时, ,则函数单调递增；当时，,函数单调递减,故当时,函数取得最小值,故选d.5【答案】c【解析】依题意，得，有两个不相等的实数根，即，或，故选c6【答案】d【方法点睛】本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题7【答案】a【解析】由题意得，当时，则在上单调递增，又根据奇函数的性质可知，在上单调递增，那么由可得在上恒成立，分离参数得，令，求导可得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故，所以.故选a【思路点睛】本题主要考查导数的最值应用,奇函数的性质,分离参数的方法，属于中档题.本题有两种方法求解：（1）利用函数是奇函数，可将时的函数解析式求出，再用函数的单调性求解；（2）直接先求出时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出在上单调递增，可得到在上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到，进而利用求导的方法求出的最小值即可.此题判断出在上的单调性是解题的关键8【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.因此在上的最小值为.9【解析】（1）.若，则，在上单调递增；若，当时，单调递减；当时，单调递增.（2）当时，即.令，则.令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以，当时，即，所以单调递减；当时，即，所以单调递增，所以，所以.10【解析】（1）（i）设，则，只有一个零点若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（2）不妨设，由（1）知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故直通高考1【答案】a【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，学*在上单调递减，所以的极小值为，故选a【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值2【答案】d由导函数的正负，得出原函数的单调区间3【答案】c若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选c.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.4【解析】（1）因为，所以（2）由，解得或因为x（，1）1（1，）（，）0+0f（x）0又，所以f（x）在区间上的取值范围是【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值5【解析】（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.6【解析】（1）的定义域为综上，（2）由（1）知 ，设，则当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，因为，所以是的唯一极大值点由得，故由得因为是在（0，1）的最大值点，由，得所以【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都