（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题13 定积分与微积分基本定理（含解析）理.doc

考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分1曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(ab)、y=0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图)（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积2求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.3定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1xi1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上任取一点i (i=1,2, ,n)，作和式；当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即=.（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式4定积分的性质（1）(k为常数)；（2）；（3）(其中acb) 【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形abcd的面积等于曲边梯形aefd与曲边梯形ebcf的面积的和5定积分的几何意义（1）当函数f (x)在区间a,b上恒为正时，定积分f (x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图中阴影部分)（2）一般情况下，定积分f (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数6定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为s,则（1）； （2）；（3）； （4）.7定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即.（2）变力做功一物体在恒力f(单位：n)的作用下做直线运动，如果物体沿着与f相同的方向移动了s m，则力f所做的功为w=fs.如果物体在变力f(x)的作用下沿着与f(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力f(x)做的功.二、微积分基本定理一般地，如果f (x)是区间a,b上的连续函数，且f(x)=f (x)，那么=f(b)f(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式，其中f(x)叫做f (x)的一个原函数为了方便，我们常把f(b)f(a)记作，即=f(b)f(a)学.【注】常见的原函数与被积函数的关系（1）为常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一 定积分的计算1求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分的几何意义是求单位圆面积的，所以.2用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.3分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加4奇偶函数的定积分（1）若奇函数y=f(x)的图象在a，a上连续，则；（2）若偶函数y=g(x)的图象在a，a上连续，则.典例1 定积分的值为ab cd【答案】c 【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1若s1=x2dx，s2=，s3=，则s1，s2，s3的大小关系为as1s2s3bs2s1s3 cs2s3s1 ds3s20)所围成的平面区域为a，向区域m内随机抛掷一点p，若点p落在区域a内的概率为，则k的值为a b c d10若函数、满足，则称、为区间上的一组正交函数，给出三组函数：；.其中为区间的正交函数的组数是a0b1c2d311在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线的方程为）的点的个数的估计值为a5000 b6667 c7500 d785412自由落体的运动速度(为常数)，则当时，物体下落的距离为_13已知，则_1（2015年高考湖南卷） 2（2015年高考天津卷）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 3（2015年高考山东卷）执行如图所示的程序框图,输出的t的值为 4（2015年高考福建卷）如图,点a的坐标为(1,0),点c的坐标为(2,4),函数f (x)=x2.若在矩形abcd内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 5（2015年高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 变式拓展1【答案】b【解析】根据微积分基本定理得，.又ln 21，所以s2s1s3.选b.2【答案】 3【答案】36 考点冲关1【答案】c【解析】2【答案】b 【解析】令，则，所以，解得，所以，故选b.3【答案】b【解析】由题意可知：，结合题意有：，解得：.本题选择b.4【答案】d 【解析】由已知得，故选.5【答案】d【解析】=23=0选d.6【答案】b【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3，得常数项为7【答案】c【解析】,而,所以,所以,选c.8【答案】d 【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.9【答案】a 【解析】m的面积为，a的面积为，故选a.10【答案】c 有2组，故选c.11【答案】b【解析】，则，因此点落入阴影部分的概率为，从而所求点的个数估计为，故选b12【答案】【解析】由定积分的物理意义可得，13【答案】【解析】由题意可得，答案为.【名师点睛】求定积分的题型，一种是：利用几何意义求面积，一般是圆；第二种是：求被积函数的原函数，用积分公式；第三种是：利用奇函数关于原点对称的区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种.直通高考1【答案】0【解析】.2【答案】【解析】由