（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第三篇 三角函数 解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用习题 理.doc

第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,5,7,12,15与面积相关的问题4,6,9判断三角形的形状与实际应用问题2,3,8综合问题10,11,13,14,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2016北京大兴区模拟)在abc中,a=2,b=3,b=3,则a等于(b)(a)6(b)4(c)34(d)4或34解析:由正弦定理得sin a=asinbb=22,又ba,所以a=4.故选b.2.若sinaa=cosbb=coscc,则abc的形状为(b)(a)等边三角形(b)等腰直角三角形(c)有一个角为30的直角三角形(d)有一个角为30的等腰三角形解析:由正弦定理和已知sinaa=cosbb=coscc,得sin b=cos b,sin c=cos c,所以b=45,c=45.故选b.3.(2016厦门一中期中)如果d,c,b在地平面同一直线上,dc=10 m,从d,c两地测得a点的仰角分别为30和45,则a点离地面的高ab等于(d)(a)10 m (b)5 m(c)5(3-1)m(d)5(3+1)m解析:abtan30-abtan45=10,解得ab=5(3+1).故选d.4.(2016黑龙江哈尔滨模拟)在abc中,ab=3,ac=1,b=30,abc的面积为32,则c等于(c)(a)30(b)45(c)60(d)75解析:因为sabc=12abacsin a=32,即1231sin a=32,所以sin a=1,所以a=90,所以c=60.故选c.5.(2016河南郑州一测)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若b3cosb=asina,则cos b等于(b)(a)-12(b)12(c)-32(d)32解析:由正弦定理及b3cosb=asina,得sinb3cosb=sinasina.所以tan b=3,又0b,所以b=3,cos b=12.故选b.6.(2016河南六市联考)在锐角abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若sin a=223,a=2,sabc=2,则b的值为(a)(a)3(b)322(c)22(d)23解析:由sabc=12bcsin a=2,得bc=3,又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos a,可得b2+c2=6.由解得b=3.故选a.7.(2016上海卷)已知abc的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.解析:由已知不妨令a=3,b=5,c=7,所以cos c=a2+b2-c22ab=-12,所以sin c=32,所以r=c2sinc=733.答案:7338.如图所示,a,b两点在一条河的两岸,测量者在a的同侧,且b点不可到达,要测出ab的距离,其方法在a所在的岸边选定一点c,可以测出ac的距离m,再借助仪器,测出acb=,cab=,在abc中,运用正弦定理就可以求出ab.若测出ac=60 m,bac=75,bca=45,则a,b两点间的距离为.解析:abc=180-75-45=60,由正弦定理得absinbca=acsinabc,所以ab=acsinbcasinabc=60sin45sin60=206(m).即a,b两点间的距离为206 m.答案:206 m9.已知abc的周长为20,面积为103,a=60,则边a=.解析:据已知条件可得12bcsin 60=103bc=40,又由余弦定理可得b2+c2-bc=b2+c2-40=a2,所以b2+c2-40=(b+c)2-2bc-40=(20-a)2-120=a2,解得a=7.答案:710.导学号 18702208在abc中,a2+c2=b2+2ac.(1)求b 的大小;(2)求2cos a+cos c的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cos b=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0b,所以b=4.(2)由(1)知a+c=34.2cos a+cos c=2cos a+cos(34-a)=2cos a-22cos a+22sin a=22cos a+22sin a=cos(a-4).因为0a34,所以当a=4时,2cos a+cos c取得最大值1.11.(2016山东临沂模拟)在锐角abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知sin(a-b)=cos c.(1)若a=32,b=10,求c;(2)求acosc-ccosab的取值范围.解:(1)由sin(a-b)=cos c,得sin(a-b)=sin(2-c).因为abc为锐角三角形,所以a-b+c=2,又a+b+c=,两式相减,得b=4.由余弦定理b2=c2+a2-2accos b,得10=c2+18-2c32cos 4,即c2-6c+8=0,解得c=2或c=4;当c=2时,b2+c2-a2=10+4-18=-40,cos a0,即a为钝角(舍去),故c=4.(2)由(1)得b=4,所以c=34-a;所以acosc-ccosab=sinacosc-cosasincsinb=sin(a-c)22=2sin(2a-34).因为abc为锐角三角形,0c=34-a2,所以4a2,所以-42a-344.所以-22sin(2a-34)22,所以-1acosc-ccosab1,故acosc-ccosab的取值范围是(-1,1).能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702209abc中角a,b,c的对边分别为a,b,c,满足ba+c+ca+b1,则角a的范围是(a)(a)(0,3(b)(0,6(c)3,)(d)6,)解析:由ba+c+ca+b1,得b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b),化简,得b2+c2-a2bc,即b2+c2-a22bc12,即cos a12(0a),所以00),则a=3t,于是c2=a2+85b2=9t2+8525t2=49t2.即c=7t.由余弦定理得cos c=a2+b2-c22ab=9t2+25t2-49t223t5t=-12.所以c=23.16.导学号 18702212在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos b.(1)证明:a=2b;(2)若abc的面积s=a24,求角a的大小.(1)证明:由正弦定理得sin b+sin c=2sin acos b,故2sin acos b=sin b+sin(a+b)=sin b+sin acos b+cos asin b,于是sin b=sin(a-b),又a,b(0,),故0a-bc,所以cb,所以cos c=1-sin2c=1-37=27,所以cosbac=cos(-b-c)=-cos(b+c)=-(cos bcos c-sin bsin c)=sin bsin c-cos bcos c=3237-1227=714.(2)法一因为ad=12(ab+ac),所以ad2=14(ab+ac)2=14(ab2+ac2+2abac)=14(