（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线习题 理.doc

第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用4,5,6,8,10抛物线的标准方程及应用1,2,3直线与抛物线的位置关系7,12,14抛物线的综合应用9,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.(2016重庆南开中学月考)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为(c)(a)14 (b)12 (c)2 (d)4解析:焦点到准线的距离d=p=2.故选c.2.(2017四川巴中一诊)若坐标原点到抛物线y=mx2的准线的距离为2,则m等于(d)(a)8 (b)8 (c)14 (d)18解析:将其化为标准方程:x2=1my,所以|14m|=2m=18,故选d.3.(2016陕西西安质检)若抛物线c:y2=x的焦点为f,a(x0,y0)是c上一点,|af|=54x0,则x0等于(a)(a)1 (b)2 (c)4 (d)8解析:因为2p=1,故p2=14,而|af|=x0+14=54x0,解之得x0=1,故选a.4.(2017河南百校联盟质检)已知抛物线c:y2=4x上一点a到焦点f的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|af|2,则a点到原点的距离为(b)(a)3 (b)42 (c)4 (d)43解析:设a(x,y),则x+1y=54y24+1y=54y=4或y=1(舍),所以a(4,4)到原点的距离为42,选b.5.(2017湖北黄石调研)过抛物线y2=4x的焦点f的直线l与抛物线交于a,b两点,若a,b两点的横坐标之和为103,则|ab|等于(d)(a)133 (b)143 (c)5 (d)163解析:|ab|=|af|+|bf|=(xa+1)+(xb+1)=(xa+xb)+2=103+2=163.故选d.6.(2016广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y=112x2上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点(c)(a)(0,2)(b)(0,-3)(c)(0,3)(d)(0,6)解析:直线y+3=0是抛物线x2=12y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y=-3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3).7.(2017重庆巴蜀中学月考)已知抛物线y2=4x焦点为f,过焦点f的直线交抛物线于a,b,o为坐标原点,若aob的面积为4,则|ab|等于(d)(a)6 (b)8 (c)12 (d)16解析:设a(y124,y1),b(y224,y2),f(1,0),所以y2y224-1=y1y124-1y1y2=-4,由aob的面积为4得12|y1-y2|1=4y12+y22=56,因此|ab|=y12+y224+2=16,选d.8.(2016豫南九校联考)已知点p是抛物线x2=4y上的动点,点p在x轴上的射影是点q,点a的坐标是(8,7),则|pa|+|pq|的最小值为(c)(a)7 (b)8 (c)9 (d)10解析:抛物线的焦点为f(0,1),准线方程为y=-1,根据抛物线的定义知,|pf|=|pm|=|pq|+1.所以|pa|+|pq|=|pa|+|pm|-1=|pa|+|pf|-1|af|-1=82+(7-1)2-1=10-1=9.当且仅当a,p,f三点共线时,等号成立,则|pa|+|pq|的最小值为9.故选c.9.导学号 18702477已知抛物线y2=2px(p0)上一点m(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x2-y2a=1的左顶点为a,若双曲线一条渐近线与直线am垂直,则实数a=.解析:抛物线y2=2px(p0)上一点m(1,m)到其焦点的距离d=1+p2=5,所以p=8,抛物线方程为y2=16x,设点m(1,4),点a(-1,0),kam=4-01-(-1)=2,所以-a=-12,即a=14.答案:1410.(2016山西忻州模拟)已知p为抛物线y2=4x上一个动点,q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线距离之和的最小值是.解析:由题意知,圆x2+(y-4)2=1的圆心为c(0,4),半径为1,抛物线的焦点为f(1,0),根据抛物线的定义,点p到点q的距离与点p到抛物线准线的距离之和即点p到点q的距离与点p到抛物线焦点f的距离之和,因此|pq|+|pf|pc|+|pf|-1|cf|-1=17-1.答案:17-1能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 18702478设抛物线c:y2=4x的焦点为f,准线l与x轴的交点为r,过抛物线c上一点p作准线l的垂线,垂足为q,若qrf的面积为2,则点p的坐标为(a)(a)(1,2)或(1,-2)(b)(1,4)或(1,-4)(c)(1,2) (d)(1,4)解析:设点p的坐标为(x0,y0),因为qrf的面积为2,所以122|y0|=2,即|y0|=2,所以x0=144=1,所以点p的坐标为(1,2)或(1,-2).故选a.12.(2017湖北襄阳月考)已知直线l:y=k(x+1)(k0)与抛物线c:y2=4x相交于a,b两点,且a,b两点在抛物线c准线上的射影分别是m,n,若|am|=2|bn|,则k的值是(c)(a)13 (b)23 (c)232 (d)22解析:设b(x,y),直线y=k(x+1)过定点(-1,0),由|am|=2|bn|得a(2x+1,2y),所以y2=4x,4y2=4(2x+1),解得x=12,y=2,k=2-012-(-1)=223.故选c.13.(2017湖南长沙摸底测试)抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线x2-y2=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.解析:抛物线准线为y=-p2,代入双曲线得|x|=1+p24,焦点f(0,p2),故p1+p24=3,解得p=23.答案:2314.导学号 18702479已知抛物线y2=4x的焦点为f,过点f的直线交抛物线于a,b两点.(1)若af=3fb,求直线ab的斜率;(2)设点m在线段ab上运动,原点o关于点m的对称点为c,求四边形oacb面积的最小值.解:(1)依题意可设直线ab:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x得y2-4my-4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,因为af=3fb,所以y1=-3y2,所以m2=13,所以ab的斜率为3或-3.(2)soacb=2saob=212|of|y1-y2|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16m2+164,当m=0时,四边形oacb的面积最小,最小值为4.好题天天练1.导学号 18702480已知f为抛物线c:y2=4x的焦点,点e在c的准线上,且在x轴上方,线段ef的垂直平分线与c的准线交于点q(-1,32),与c交于点p,则点p的坐标为(d)(a)(1,2) (b)(2,22)(c)(3,23)(d)(4,4)解题关键:设出e点坐标,利用|eq|=|qf|解出e点坐标,再利用kef与kqp的关系写出qp方程,联立方程组求解.解析:由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,f(1,0).设e(-1,y),因为pq为ef的垂直平分线,所以|eq|=|fq|,即y-32=(-1-1)2+(32)2,解得y=4,所以kef=4-0-1-1=-2,kpq=12,所以直线pq的方程为y-32=12(x+1),即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,y2=4x,解得x=4,y=4,即点p的坐标为(4,4),故选d.2.导学号 18702481抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,已知点a,b为抛物线上的两个动点,且满足afb=120.过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn,垂足为n,则|mn|ab|的最大值为(a)(a)33 (b)1 (c)233 (d)2解析:设|af|=a,|bf|=b,作aq,bp垂直准线于q,p,由抛物线定义,得|af|=|aq|,|bf|=|bp|