（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第四篇 平面向量 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用习题 理.doc

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积4平面向量的夹角与垂直1,3,9,14平面向量的模2,8平面向量数量积的综合问题7,10,11平面向量与其他知识的交汇5,6,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016哈尔滨六中期中)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则等于(b)(a)-4 (b)-3 (c)-2 (d)-1解析:由题意得m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=0(2+3,3)(-1,-1)=0,所以=-3.故选b.2.(2016长春外国语学校检测)设向量a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数的值为(c)(a)1(b)2(c)-1 (d)-2解析:因为向量a=(,1),b=(+2,1),所以a+b=(2+2,2),a-b=(-2,0),于是由|a+b|=|a-b|可得(2+2)2+22=2,解得=-1,故选c.3.(2016衡水中学调研)已知a,b是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,则a,b的夹角为(c)(a)30(b)60(c)120(d)150解析:因为(a+b)a,所以a2+ab=0,所以ab=-1,所以|a|b|cos=-1,所以cos =-12,所以=120,故选c.4.(2016兰州一中期中)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a与b的数量积等于(d)(a)-72(b)-12(c)32(d)52解析:由已知可得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),因为a+2b与2a-b平行,所以(-1+2m)3-(-2-m)4=0,解得m=-12.即b=(-12,1).所以ab=-1(-12)+21=52.故选d.5.(2016遵义校级期末)在abc中,a,b,c分别为三个内角a,b,c所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,则角a的大小为(b)(a)6(b)3(c)2(d)23解析:因为mn,所以mn=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化为b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cos a=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为a(0,),所以a=3.6.(2016广东实验中学测试)在abc中,已知向量ab与ac满足(ab|ab|+ac|ac|)bc=0且ab|ab|ac|ac|=12,则abc为(d)(a)三边均不相等的三角形(b)直角三角形(c)等腰非等边三角形(d)等边三角形解析:设bac的角平分线为ad,则ab|ab|+ac|ac|=ad.由已知得adbc,所以abc为等腰三角形.又由ab|ab|ac|ac|=12得cosbac=12,所以bac=60,所以abc为等边三角形,故选d.7.已知点g为abc的重心,a=120,abac=-2,则|ag|的最小值是(c)(a)33(b)22(c)23(d)34解析:设bc的中点为m,则ag=23am.又m为bc中点,所以am=12(ab+ac),所以ag=23am=13(ab+ac),所以|ag|=13ab2+ac2+2abac.又因为abac=-2,a=120,所以|ab|ac|=4.所以|ag|=13ab2+ac2-4132|ab|ac|-4=23,当且仅当|ab|=|ac|时取“=”,所以|ag|的最小值为23,故选c.8.(2016江西临川一中期中)设a=(x,3),b=(2,-1),若ab,则|2a+b|=.解析:因为ab,所以2x-3=0,解得x=32,所以|2a+b|=(232+2)2+(23-1)2=52.答案:529.(2016牡丹江一中月考)已知p,q是圆心在坐标原点o的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且p点的纵坐标为45,q点的横坐标为513,则cospoq=.解析:由题意可得点p的坐标为(35,45),点q的坐标为(513,-1213),则op=(35,45),oq=(513,-1213),由向量的夹角公式得cospoq=opoq|op|oq|=-3365.答案:-336510.导学号 18702229已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xr).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25.综上,|a-b|为2或25.11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若ab=a,bc=b,求abc的面积.解:(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,所以=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=13.(3)因为ab与bc的夹角=23,所以abc=-23=3.又|ab|=|a|=4,|bc|=|b|=3,所以sabc=12|ab|bc|sinabc=124332=33.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016宁夏银川模拟)已知正三角形abc的边长是3,d是bc上的点,bd=1,则adbc等于(b)(a)-92(b)-32(c)152(d)52解析:由余弦定理得ad2=32+12-231cos 60=7,所以ad=7,所以cosadb=1+7-9217=-714,所以adbc=73cosadb=37(-714)=-32.故选b.13.导学号 18702232若a,b,c均为单位向量,ab=-12,c=xa+yb(x,yr),则x+y的最大值是(d)(a)1(b)3(c)2(d)2解析:因为ab=-12,c=xa+yb,所以c2=(xa+yb)2=(x2+y2)+2xy(-12)=x2+y2-xy=1,所以(x+y)2-3xy=1,即(x+y)2=3xy+13(x+y2)2+1,所以(x+y)24,所以|x+y|2,故选d.14.(2016洛阳统考)已知a(-1,cos ),b(sin ,1),若|oa+ob|=|oa-ob|(o为坐标原点),则锐角=.解析:法一利用几何意义求解:由已知可知oa+ob是以oa,ob为邻边作平行四边形oadb的对角线向量od,oa-ob则是对角线向量ba,于是对角线相等的平行四边形为矩形.故oaob.因此oaob=0,所以锐角=4.法二坐标法:oa+ob=(sin -1,cos +1),oa-ob=(-sin -1,cos -1),由|oa+ob|=|oa-ob|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得sin =cos ,于是锐角=4.答案:415. 导学号 18702234在如图所示的平面直角坐标系中,已知点a(1,0)和点b(-1,0),|oc|=1,且aoc=,其中o为坐标原点.(1)若=34,设点d为线段oa上的动点,求|oc+od|的最小值;(2)若0,2,向量m=bc,n=(1-cos ,sin -2cos ),求mn的最小值及对应的值.解:(1)设d(t,0)(0t1),由题意知c(-22,22),所以oc+od=(-22+t,22),所以|oc+od|2=12-2t+t2+12=t2-2t+1=(t-22)2+12,所以当t=22时,|oc+od|最小,为22.(2)由题意得c(cos ,sin ),m=bc=(cos +1,sin ),则mn=1-cos2+sin2-2sin cos =1-cos 2-sin 2=1-2sin(2+4),因为0,2,所以42+454,所以当2+4=2,即=8时,sin(2+4)取得最大值1.所以mn的最小值为1-2,此时=8.好题天天练导学号 18702235在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(a-b),sin(a-b),n=(cos b,-sin b),且mn=-35.(1)求si