（全国通用）2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用学案.doc

4.7解三角形的综合应用最新考纲考情考向分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题求ab图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达acb，bca解直角三角形abatan 底部不可达acb，adb，cda解两个直角三角形ab求水平距离山两侧acb，acb，bca用余弦定理ab河两岸acb，abc，cba用正弦定理ab河对岸adc，bdc，bcd，acd，cda在adc中，ac；在bdc中，bc；在abc中，应用余弦定理求ab知识拓展实际问题中的常用术语1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图)4坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()题组二教材改编2.p11例1如图所示，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a所在的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点的距离为_ m.答案50解析由正弦定理得，又b30，ab50(m)3p13例3如图，在山脚a测得山顶p的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到b，在b处测得山顶p的仰角为60，则山高h_米答案a解析由题图可得paq30，baq15，pab中，pab15，又pbc60，bpa30，pba，pqpccqpbsin asin asin 60asin 15a.题组三易错自纠4在某次测量中，在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60，c点的俯角是70，则bac等于()a10 b50c120 d130答案d5.如图所示，d，c，b三点在地面的同一条直线上，dca，从c，d两点测得a点的仰角分别为60，30，则a点离地面的高度ab_.答案a解析由已知得dac30，adc为等腰三角形，ada，所以在rtadb中，abada.6在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案6020解析如图，aob60，由余弦定理知oc2202202800cos 1201 200，故oc20，coy303060.题型一求距离、高度问题1(2018吉林长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案10解析如图，omaotan 4530(m)，onaotan 303010(m)，在mon中，由余弦定理得，mn 10 (m)2.(2017郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上b处测得地面上一点a的俯角为，在塔底c处测得a处的俯角为.已知铁塔bc部分的高为h，则山高cd_.答案解析由已知得，bca90，abc90，bac，cad.在abc中，由正弦定理得，即，ac.在rtacd中，cdacsincadacsin .故山高cd为.3(2018日照模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60的方向上，行驶4 h后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15的方向上，这时船与灯塔的距离为_ km.答案30解析如图，由题意知，bac30，acb105，b45，ac60，由正弦定理得，bc30(km)思维升华 求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理题型二求角度问题典例 如图所示，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援，则cos 的值为_答案解析在abc中，ab40，ac20，bac120，由余弦定理得bc2ab2ac22abaccos 1202 800，得bc20.由正弦定理，得，即sinacbsinbac.由bac120，知acb为锐角，则cosacb.由acb30，得cos cos(acb30)cosacbcos 30sinacbsin 30.思维升华 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用跟踪训练如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东40的方向上，灯塔b在观察站c的南偏东60的方向上，则灯塔a在灯塔b的_的方向上答案北偏西10解析由已知acb180406080，又acbc，aabc50，605010，灯塔a位于灯塔b的北偏西10的方向上题型三三角形与三角函数的综合问题典例 (2018石家庄模拟)在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，(2ac)cos bbcos c0.(1)求角b的大小；(2)设函数f(x)2sin xcos xcos bcos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值解(1)因为(2ac)cos bbcos c0，所以2acos bccos bbcos c0，由正弦定理得2sin acos bsin ccos bcos csin b0，即2sin acos bsin(cb)0，又cba，所以sin(cb)sin a.所以sin a(2cos b1)0.在abc中，sin a0，所以cos b，又b(0，)，所以b.(2)因为b，所以f(x)sin 2xcos 2xsin，令2x2k(kz)，得xk(kz)，即当xk(kz)时，f(x)取得最大值1.思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题跟踪训练设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求abc面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kz, 可得kxk，kz；由2k2x2k，kz, 可得kxk，kz.所以f(x)的单调递增区间是(kz)；单调递减区间是(kz)(2)由fsin a0，得sin a，由题意知a为锐角，所以cos a.由余弦定理a2b2c22bccos a，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin a.所以abc面积的最大值为.函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则1分s.3分故当t时，smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6分(2)设小艇与轮船在b处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，8分故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又当t时，v30，故当v30时，t取得最小值，且最小值为.此时，在oab中，有oaobab20.11分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时12分1(2018武汉调研)已知a，b两地间的距离为10 km，b，c两地间的距离为20 km，现测得abc120，则a，c两地间的距离为()a10 km b10 kmc10 km d10 km答案d解析如图所示，由余弦定理可得，ac210040021020cos 120700，ac10.2(2018襄阳模拟)如图，两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40，灯塔b在观察站南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东10 b北偏西10c南偏东80 d南偏西80答案d解析由条件及图可知，acba40，又bcd60，所以cbd30，所以dba10，因此灯塔a在灯塔b的南偏西80.3一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10 海里 b10 海里c20 海里 d20 海里答案a解析如图所示，易知，在abc中，ab20，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10.4(2018广州模拟)如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc等于()a240(1)m b180(1)mc120(1)m d30(1)m答案c解析如图，acd30，abd75，ad60 m，在rtacd中，cd60(m)，在rtabd中，bd60(2)m，bccdbd6060(2)120(1)m.5.如图，两座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分别为20 m，50 m，bd为水平面，则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角为()a30 b45c60 d75答案b解析依题意可得ad20，ac30，又cd50，所以在acd中，由余弦定理得coscad，又0cad180，所以cad45，所以从顶端a看建筑物cd的张角为45.6(2018郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高ab时可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，测得bcd15，bdc30，cd30，并在点c测得塔顶a的仰角为60，则塔高ab等于()a5 b15c5 d15答案d解析在bcd中，cbd1801530135.由正弦定理得，所以bc15.在rtabc中，abbctanacb1515.故选d.7轮船a和轮船b在中午12时同时离开海港c，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.答案70解析设两船之间的距离为d，则d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.8(2018哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.答案100解析设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100.9(2018青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里答案10解析如图所示，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10，在rtabc中，得ab5，于是这艘船的速度是10(海里/时)10.如图，在山底a点处测得山顶仰角cab45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000米至s点，又测得山顶仰角dsb75，则山高bc为_米答案1 000解析由题图知bas453015，abs45(90dsb)30，asb135，在abs中，由正弦定理可得，ab1 000，bc1 000.11(2018泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2分钟，从d沿dc走到c用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米答案50解析如图，连接oc，在ocd中，od100，cd150，cdo60.由余弦定理得oc2100215022100150cos 6017 500，解得oc50.12.如图，渔船甲位于岛屿a的南偏西60方向的b处，且与岛屿a相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意知，bac120，ab12，ac10220，bca.在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784，解得bc28.所以渔船甲的速度为14(海里/小时)(2)在abc中，因为ab12，bac120，bc28，bca，由正弦定理，得，即sin .13.(2018德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔aa1和bb1.已知从塔aa1的底部看塔bb1顶部的仰角是从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的正切值为_；塔bb1的高为_ m.答案45解析设从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角为，则aa160tan ，bb160tan 2.从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角，a1accbb1，aa1bb1900，3 600tan tan 2900，tan ，tan 2，则bb160tan 245.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.答案15解析记现在热带风暴中心的位置为点a，t小时后热带风暴中心到达b点位置，在oab中，oa600，ab20t，oab45，根据余弦定理得ob26002400t2260020t，令ob24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15.15.如图所示，经过村庄a有两条