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角平分线教案 讲课人：刘海峰教学目标：一、知识与技能1. 证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理2. 能够证明三角形三边垂直平分线交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.3. 经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形和垂线二、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识 三、情感、态度与价值观学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果培养学生积极探索证明思路的意识.教学重点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理的推证以及应用.教学难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用教学过程：1、 导入新课提出问题：你还记得角平分线上的点有什么性质吗?学生回忆回答：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.思考：你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？-引出本课课题：角平分线.2、 新课学习（一）证明角平分线的性质和判定定理1. 证明角平分线的性质师生共同分析，写出已知、求证和证明过程：已知： 如图 ， OC 是AOB 的平分线， 点P在 OC上， PDOA，PEOB， 垂足分别为D，E. 求证： PD = PE. 证明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等)归纳：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言： OC 是AOB 的平分线，PDOA，PEOB， PD = PE. 2.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？学生分析，说出逆命题并判定：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上这个命题是假命题角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点思考：此命题填加什么条件可变为真命题呢？ 学生讨论归纳：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上提出问题：你能证明这个命题吗？ 学生分析命题，自主写出已知、求证和证明过程：已知：在AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且PD=PE， 求证：点P在AOB的平分线上证明： PDOA，PEOB， PDO= PEO=90在RtODP和RtOEP中OP=OP，PD=PERtODP RtOEP(HL)1=2(全等三角形对应角相等)归纳：角平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上几何语言： 如上图，PDOA，PEOB，且PD=PE， 点P在AOB的平分线上 3.例题讲解：例1.如图， 在 ABC 中， BAC =60， 点 D 在 BC上， AD=10，DEAB， DFAC， 垂足分别为 E， F， 且DE=DF， 求DE的长. 师生共同分析，写出证明过程：分析：运用角平分线的判定和直角三角形的性质求解. 解： DEAB， DFAC，垂足分别为E，F， 且 DE=DF， AD平分BAC（在一个角的内部， 到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上） . 又BAC=60， BAD = 30 . 在 RtADE中， AED=90， AD=10， DE= AD = 10 = 5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半） （二）证明三角形角平分线的性质：例2.求证： 三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到三条边的距 离相等. 学生分析题意，写出已知求证：已知：如图， 在 ABC中， 角平分线 BM与角平分线CN相交于点P， 过点P分别作AB， BC，AC的垂线， 垂足分别是 D，E，F. 求证：A 的平分线经过 点P， 且PD=PE=PF. 分析：分析：只需证明PD=PF即可. 学生自主完成证明过程：证明： BM是ABC的角平分线，点P在 BM 上， PD=PE（角平分线上的点到这个 角的两边的距 离相等） . 同理，PE=PF. PD=PE=PF. 点P在A的平分线上（在一个角的内部， 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即 A的平分线经过点 P. 归纳：三角形角平分线的性质定理： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等几何语言： 如图,在ABC中,BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分线,且PDAB,PEBC,PFAC,BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF 例3.如图 ， 在 ABC中，AC=BC， C= 90 ， AD是ABC的角平分线，DEAB， 垂足为E. （1） 已知 CD=4cm， 求AC的长； （2） 求证： AB=AC+CD.师生共同分析：（1）运用角平分线的性 质和勾股定理. （2）证明ADC ADE即可. 学生自主完成证明过程：（1） 解： AD是ABC 的角平分线， DCAC，DEAB，垂足为 E， DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） . AC=BC， B=BAC（等边对等角） . C= 90， B=1/290= 45 . BDE =90- 45= 45 . BE = DE（等角对等边） .在等腰直角三角形BDE 中， BD = 4cm（勾股定理） . AC = BC = CD + BD =（4 + 4） cm. （2）证明：由（1）的求解过程易知，RtACDRtAED（HL） . AC=AE（全等三角形的对应边相等） . BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD.三、课堂练习1.下列作法中，不能得到ABC的平分线的是（ ）A.在ABC的边AB，BC上各取一段BEBF,连接EF的中点D和顶点BB.在ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BDC.在ABC内找一点D,使ABDCBDD.在ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等 2. 在RtABC中，C90，若BC10,AD平分BAC交BC于点D，且BD:CD3:2则点D到线段AB的距离为 .3.如图，已知：ADOB于D，BCOA于C，AD，BC相交于E，且EA=EB.求证：EO为AOB的平分线. 4.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在DAE的平分线上. 拓展：5.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？2题图 3题图 4题图 5题