（天津版）高考数学分项版解析 专题08 直线与圆、圆锥曲线 理.doc

第八章 直线与圆、圆锥曲线一基础题组1.【2005天津，理5】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为a、 b、 c、 d、【答案】c2.【2006天津，理2】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）a b c d 【答案】c【解析】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为， ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选c.3.【2006天津，理14】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_ 【答案】0【解析】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，04.【2007天津，理4】设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为( )a.b.c.d.【答案】d【解析】由可得故选d5.【2007天津，理14】已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.【答案】【解析】两圆方程作差得6.【2008天津，理5】设椭圆上一点p到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则p点到右准线的距离为(a) 6 (b) 2 (c) (d) 【答案】b【解析】由椭圆第一定义知，所以，椭圆方程为所以，选b7.【2008天津，理13】已知圆c的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆c相交于两点，且,则圆c的方程为 .【答案】【解析】抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，圆c的方程为.8.【2009天津，理9】设抛物线y22x的焦点为f,过点m(,0)的直线与抛物线相交于a,b两点,与抛物线的准线相交于点c,|bf|2,则bcf与acf的面积之比（ ）a. b. c. d.【答案】a9.【2009天津，理14】若圆x2+y24与圆x2+y2+2ay60(a0)的公共弦的长为,则a_.【答案】1【解析】依题,画出两圆位置如右图,公共弦为ab,交y轴于点c,连结oa,则|oa|2.两圆方程相减,得2ay2,解得,.又公共弦长为,|ac|.于是,由rtaoc可得oc2ao2ac2,即,整理得a21,又a0,a1.10.【2010天津，理5】已知双曲线 (a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()a. b.c. d.【答案】b11.【2010天津，理13】已知圆c的圆心是直线 (t为参数)与x轴的交点，且圆c与直线xy30相切则圆c的方程为_【答案】(x1)2y22【解析】解析：直线 (t为参数)与x轴的交点为(1，0)，则r，圆c的方程为(x1)2y22. 12.【2012天津，理8】设m，nr，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()a，b(，)c，d(，)【答案】d13.【2013天津，理5】已知双曲线(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于a，b两点，o为坐标原点若双曲线的离心率为2，aob的面积为，则p()a1 b c2 d3【答案】c【解析】设a点坐标为(x0，y0)，则由题意，得saob|x0|y0|.抛物线y22px的准线为，所以，代入双曲线的渐近线的方程，得|y0|.由得b，所以|y0|.所以saob，解得p2或p2(舍去)14.【2014天津，理5】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】试题分析：由已知得在方程中令，得所求双曲线的方程为，故选a考点：1双曲线的几何性质；2双曲线方程的求法15. 【2015高考天津，理6】已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )（a） （b）（c）（d）【答案】d【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.16. 【2016高考天津理数】已知双曲线（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d四点，四边形abcd的面积为2b，则双曲线的方程为（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，故双曲线的方程为，故选d.【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为ax2by21(ab0)若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)17.【2016高考天津理数】设抛物线 （t为参数，p0）的焦点为f，准线为l.过抛物线上一点a作l的垂线，垂足为b.设c（p,0），af与bc相交于点e.若|cf|=2|af|，且ace的面积为，则p的值为_.【答案】【考点】抛物线定义【名师点睛】1凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理2若p(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|pf|x0；若过焦点的弦ab的端点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则弦长|ab|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到二能力题组1.【2005天津，理21】抛物线c的方程为，过抛物线c上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线c于，两点（p、a、b三点互不相同），且满足（0且）。（）求抛物线c的焦点坐标和准线方程（）设直线ab上一点m，满足，证明线段pm的中点在y轴上（）当时，若点p的坐标为（1，1），求pab为钝角时点a的纵坐标的取值范围。【答案】（）焦点坐标为（），准线方程为（）详见解析，（）（iii）解：因为点p（1，1）在抛物线上，所以，抛物线的方程为。由 得：，代入得将代入 ，得，代入得因此，直线pa、pb分别与抛物线c的交点a、b的坐标为于是：，因为为钝角且p、a、b三点互不相同，故必有，即解得的范围为：或又点a的纵坐标满足，故当时，当时，所以，为钝角时，点a的纵坐标的取值范围是2.【2008天津，理21】已知中心在原点的双曲线c的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线c的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线c相交于两个不同的点m，n，线段mn的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.【答案】（i），（ii）【解析】（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是3.【2009天津，理21】已知椭圆(ab0)的两个焦点分别为f1(c,0)和f2(c,0)(c0),过点e(,0)的直线与椭圆相交于a,b两点,且f1af2b,|f1a|2|f2b|.(1)求椭圆的离心率;(2)求直线ab的斜率;(3)设点c与点a关于坐标原点对称,直线f2b上有一点h(m,n)(m0)在af1c的外接圆上,求的值.分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.【答案】（）；（）；（） (2)解:由(1),得b2a2c22c2.所以椭圆的方程可写为2x2+3y26c2.设直线ab的方程为,即yk(x3c).由已知设a(x1,y1),b(x2,y2),则它们的坐标满足方程组消去y并整理,得(2+3k2)x218k2cx+27k2c26c20.依题意,48c2(13k2)0,得.而.由题设知,点b为线段ae的中点,所以x1+3c2x2.联立解得,.将x1,x2代入中,解得.(3)解法一:由(2)可知x10,.当时,得a(0,),由已知得c(0, ).线段af1的垂直平分线l的方程为,直线l与x轴的交点(,0)是af1c的外接圆的圆心.因此外接圆的方程为.直线f2b的方程为,于是点h(m,n)的坐标满足方程组由m0,解得故.当时,同理可得.4.【2011天津，理18】在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程【答案】（）；（）（ii）解：由（i）知可得椭圆方程为直线pf2方程为a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得解得 得方程组的解化简得将所以因此，点m的轨迹方程是5.【2012天津，理19】设椭圆(ab0)的左、右顶点分别为a，b，点p在椭圆上且异于a，b两点，o为坐标原点(1)若直线ap与bp的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|ap|oa|，证明直线op的斜率k满足【答案】(1) ，(2) 详见解析【解析】解：(1)设点p的坐标为(x0，y0)由题意，有由a(a,0)，b(a,0)，得，由kapkbp，可得x02a22y02，代入并整理得(a22b2)y020由于y00，故a22b2于是，所以椭圆的离心率 (方法二)依题意，直线op的方程为ykx，可设点p的坐标为(x0，kx0)，由点p在椭圆上，有因为ab0，kx00，所以，即(1k2)x02a2由|ap|oa|，a(a,0)，得(x0a)2k2x02a2，整理得(1k2)x022ax00，于是代入，得(1k2)a2，解得k23，所以6.【2013天津，理18】设椭圆(ab0)的左焦点为f，离心率为，过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设a，b分别为椭圆的左、右顶点，过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c，d两点若8，求k的值【答案】（）；（） (2)设点c(x1，y1)，d(x2，y2)，由f(1,0)得直线cd的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.求解可得x1x2，x1x2.因为a(，0)，b(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2.由已知得8，解得k.7.【2014天津，理18】设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为已知（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率【答案】（）；（）直线的斜率为或【解析】试题分析：（）设椭圆的右焦点的坐标为，由已知，可得，结合，可得，从而可求得椭圆的离心率；（）在（）的基础上，可先利用及数量积的坐标运算求出点的坐标，再求出以线段为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点的与该圆相切的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率试题解析：（）设椭圆的右焦点的坐标为由，可得，又，则，椭圆的离心率（）由（）知，故椭圆方程为设由，有，由已知，有，即又，故有 又点在椭圆上，故 由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为由与圆相切，可得，即，整理得，解得直线的斜率为或考点：1椭圆的标准方程和几何性质；2直线和圆的方程；3直线和圆的位置关系8. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点m在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.(i)求直线的斜率；(ii)求椭圆的方程；(iii)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】(i) ； (ii) ；(iii) . (ii)由(i)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为当时，有，因此，于是，得当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.三拔高题组1.【2006天津，理22】如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明【答案】（i）详见解析，（ii）详见解析【解析】（i）证明：由题设条件知，rtofartobf，故 因此， 解：在rtofa中， 于是，直线oa的斜率 设直线bf的斜率为k，则 这时，直线bf的方程为则 所以直线bf与y轴的交点为m（0，a）.（ii）证明：由（i），得直线bf的方程为，且 由已知，设、，则它们的坐标满足方程组 由方程组消去y，并整理得 由、和， 由方程组消去x，并整理得 由和， 综上，得到 注意到得 2.【2007天津，理22】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点原点到直线的距离为.(i)证明：；(ii)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线垂足为求点的轨迹方程.【答案】(i)证明(略)(ii) 【解析】(i)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有即解得从而得到直线的方程为整理得由题设，原点到直线的距离为即将代入上式并化简得即 （ii）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为所以直线的方程为或其中点的坐标满足方程组将式代入式，得整理得于是由式得由知将式和式代入得将代入上式，整理得当时，直线的方程为点的坐标满足方程组所以由知即解得这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为可知直线的方程为记（显然点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得于是由式得由式得将式代入式得整理得于是由知将式和式代入得将代入上式，得所以，点的轨迹方程为3.【2010天津，理20】已知椭圆 (ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b.已知点a的坐标为(a,0)，点q(0，y0)在线段ab的垂直平分线上，且4.求y0的值【答案】(1) y21， (2) y02或y0. (2)由(1)可知a(2,0)设b点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为yk(x2)于是a，b两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1.从而