（普通班）2017届高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第三课时 定点 定值 存在性专题基础对点练 理.doc

第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1,4,5圆锥曲线的定值问题7圆锥曲线的存在性问题2,3,61.(2015江西九江二模)已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为22,m是椭圆c上任意一点,且点m到椭圆c右焦点f距离的最小值是2-1.(1)求椭圆c的方程;(2)已知a,b是椭圆c的左、右顶点,当点m与a,b不重合时,过点f且与直线mb垂直的直线交直线am于点p,求证:点p在定直线上.(1)解:由条件知a-c=2-1,又=22=12.解得a=2,c=1,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)证明:设m(x0,y0)(y00),则+y02=1,直线am的方程为y=y0x0+2(x+2), 因为fpmb,所以直线fp的方程为y=-x0-2y0(x-1),联立得x+2=-x02-2y02(x-1), 又+y02=1,即-x02-2y02=2, 将代入得x=2+2,所以点p在定直线x=2+2上.2.(2016郑州模拟)已知动点p到定点f(1,0)和到直线x=2的距离之比为22,设动点p的轨迹为曲线e,过点f作垂直于x轴的直线与曲线e相交于a,b两点,直线l:y=mx+n与曲线e交于c,d两点,与线段ab相交于一点(与a,b不重合).(1)求曲线e的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形acbd的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点p(x,y),由题意可得(x-1)2+y2|x-2|=22,整理可得+y2=1.曲线e的方程是+y2=1.(2)设c(x1,y1),d(x2,y2),由已知可得|ab|=2.当m=0时,不合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2.联立y=mx+n,x22+y2=1,消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0,=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m20,x1=-2mn+2m2+1,x2=-2mn-2m2+1,s四边形acbd=|ab|x2-x1|=2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22,当且仅当2|m|=1|m|,即m=22时等号成立,此时n=62,经检验可知,直线l的方程为y=22x-62或直线y=-22x+62时四边形acbd的面积最大,最大值为22.3.(2016陕西模拟)已知a是椭圆m:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点,f是椭圆m的右焦点,过点f的直线l与椭圆m交于b,c两点.(1)若|ob|=|oc|,求b,c两点的坐标;(2)是否存在直线l,使得|ab|=|ac|?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)由x2+5y2=5可得+y2=1,所以c=2,所以f(2,0),a(0,1).由椭圆的对称性可知,满足|ob|=|oc|的直线l有两种:当直线lx轴时,令x=2,y=55.所以b,c两点的坐标分别为(2,55)和(2,-55).当直线l与x轴重合时,b,c两点的坐标分别为(5,0)和(-5,0).(2)易知,当直线l与x轴重合时,|ab|=|ac|,此时直线l的方程为y=0.当直线l与x轴垂直时,直线l不符合题意.当直线l与坐标轴不垂直时,设过点f的直线的斜率为k,直线l与椭圆m的交点b(x1,y1),c(x2,y2),bc的中点n(x0,y0),则l:y=k(x-2).联立y=k(x-2),x2+5y2=5得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,所以x1+x2=20k21+5k2.所以x0=10k21+5k2,y0=-2k1+5k2,所以要使|ab|=|ac|,只要anbc.所以y0-1x0k=-1,所以5k2-8k+1=0,所以k=4115,所以直线l的方程为y=4115(x-2).综上,符合题意的直线l的方程为y=0或y=4115(x-2).4.(2015吉林东北师大附中三模)已知双曲线c的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=52,虚轴长为2.(1)求双曲线c的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与双曲线c相交于a,b两点(a,b均异于左、右顶点),且以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.(1)解:由题设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),由已知得=52,2b=2,又a2+b2=c2,解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为-y2=1.(2)证明:设a(x1,y1),b(x2,y2),联立y=kx+m,x24-y2=1,得(1-4k2)x2-8mkx-4(m2+1)=0,则x1+x2=8mk1-4k2,x1x2=-4(m2+1)1-4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2-4k21-4k2.以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d(-2,0),所以kadkbd=-1,即y1x1+2y2x2+2=-1,所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,所以m2-4k21-4k2+-4(m2+1)1-4k2+16mk1-4k2+4=0,所以3m2-16mk+20k2=0.解得m=2k或m=10k3.当m=2k时,l的方程为y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾;当m=10k3时,l的方程为y=k(x+103),直线过定点(-103,0),经检验符合已知条件.故直线l过定点,定点坐标为(-103,0).5.(2016开封模拟)已知抛物线c:x2=4y.(1)设p为直线l:x-y-2=0上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(2)当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.解:(1)抛物线c的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y=x.设a(x1,y1),b(x2,y2)(其中y1=,y2=),则切线pa,pb的斜率分别为x1,x2,所以切线pa的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线pb的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线pa,pb均过点p(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.故直线ab的方程为x0x-2y-2y0=0.(2)由抛物线定义可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1.所以|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程x0x-2y-2y0=0,x2=4y,消去x整理得y2+(2y0-x02)y+y02=0,由根与系数的关系可得y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02,所以|af|bf|=y1y2+(y1+y2)+1=y02+x02-2y0+1.又点p(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2(y0+)2+,所以当y0=-时,|af|bf|取得最小值,且最小值为.6.(2015西安模拟)已知椭圆c:+=1(ab0)经过点(1,32),离心率为32.(1)求椭圆c的方程;(2)直线y=k(x-1)(k0)与椭圆c交于a,b两点,点m是椭圆c的右顶点,直线am与直线bm分别与y轴交于点p,q,试问以线段pq为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.解:(1)由题意得ca=32,1a2+34b2=1,解得a=2,b=1.所以椭圆c的方程是+y2=1.(2)以线段pq为直径的圆过x轴上的定点,由y=k(x-1),x24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则有x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2.又因为点m是椭圆c的右顶点,所以点m(2,0),由题意可知直线am的方程为y=y1x1-2(x-2),故点p(0,-2y1x1-2).直线bm的方程为y=y2x2-2(x-2),故点q(0,-2y2x2-2).若以线段pq为直径的圆过x轴上的定点n(x0,0),则等价于pnqn=0恒成立,又因为pn=(x0,2y1x1-2),qn=(x0,2y2x2-2),所以pnqn=x02+2y1x1-22y2x2-2=x02+4y1y2(x1-2)(x2-2)=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=4k2-41+4k2-28k21+4k2+4=4k21+4k2,y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1=k2(4k2-41+4k2-8k21+4k2+1)=-3k21+4k2,所以x02+4y1y2(x1-2)(x2-2)=x02+-12k21+4k24k21+4k2=x02-3=0,解得x0=3.即x轴上的定点为(3,0)或(-3,0).故以线段pq为直径的圆过x轴上的定点(3,0).7.(2016枣庄模拟)已知椭圆c:+=1(ab0)的两个焦点分别为f1,f2,离心率为,过f1的直线l与椭圆c交于m,n两点,且mnf2的周长为8.(1)求椭圆c的方程;(2)过原点o的两条互相垂直的射线与椭圆c分别交于a,b两点,求证:点o到直线ab的距离为定值,并求出这个定值.解:(1)由题意知4a=8,所以a=2.因为e=,所以=a2-c2a2=1-e2=,所以b2=3.所以椭圆c的方程为+=1.(2)由题意,当直线ab的斜率不存在时,可设a(x0,x0),b(x0,-x0).又a,b两点在椭圆c上,所以+=1,即x02=127,所以点o到直线ab的距离d=127=2217.当直线ab的斜率存在时,设直线ab的方程为y=kx+m.由y=kx+m,x24+y23=1,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由0得3+4k2m2.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以x1+x2=