（江苏专版）2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题2 三角函数、解三角形、平面向量 第9讲 三角恒等变换与解三角形教师用书 理.doc

1 第第 9 9 讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 题型一 三角变换与求值 1 求值 2cos 10 sin 20 cos 20 2 设 为锐角 若 cos 则 sin的值为 6 4 5 2 12 3 若 cos 2 sin 2 0 则 的值为 11 14 4 3 7 4 2 解题指导 1 利用 10 30 20 然后利用三角恒等变换求解 2 化 2 为 2 是关键 12 6 4 3 利用 2 2 求出 cos 的值 1 2 3 1 由题意得 3 17 2 50 3 2cos 10 sin 20 cos 20 2cos 30 20 sin 20 cos 20 3cos 20 sin 20 sin 20 cos 20 3 2 为锐角且 cos sin 6 4 5 6 3 5 sin sin 2 12 2 6 4 sin 2cos cos 2sin 6 4 6 4 sincos 2 6 6 2 2 2cos2 6 1 2 3 5 4 5 2 2 2 4 5 2 1 12 2 25 7 2 50 17 2 50 3 cos 2 且 2 sin 2 11 14 4 5 3 14 sin 2 且 2 cos 2 4 3 7 4 2 1 7 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 2 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2 4 3 4 3 名师点评 三角恒等变换的基本思路 1 化异为同 切化弦 1 的代换是三角恒等变换的常用技巧 如 1 cos2 sin2 tan 45 等 化异为同 是指 化异名为同名 化异次为同次 化异角为同角 2 角的变换是三角变换的核心 如 2 等 2 2 2 1 设 都是锐角 且 cos sin 则 cos 5 5 3 5 依题意得 sin cos 2 5 251 cos2 2 5 5 又 均为锐角 因此 0 cos 注意到 所以 cos 4 5 5 5 4 5 4 5 cos cos cos cos sin sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 2 2016 苏锡 常镇调研二 若 tan tan 则 tan 2 1 2 1 3 导学号 19592029 tan tan 1 7 1 3 1 3 tan 2 tan tan tan 1 tan tan 1 3 1 2 1 1 3 1 2 3 1 7 3 已知 3tan tan2 1 sin 3sin 2 则 tan 2 2 3tan tan2 1 4 3 2 2 tan 2tan 2 1 tan2 2 2 3 由 sin 3sin 2 得 sin 3sin 即 sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin tan 2tan 4 3 4 已知 sin 2 则 cos2 1 3 4 cos2 2 3 4 cos 2 1 2 sin 2 1 2 2 3 题型二 利用正 余弦定理解三角形 1 2014 江苏高考 若 abc的内角满足 sin a sin b 2sin c 则 cos 2 c的最小值是 2 在 abc中 已知 2acos b c sin asin b 2 cos c sin2 则 abc为 c 2 1 2 三角形 解题指导 1 利用正弦定理得a b 2c 然后利用余弦定理及均值不等式求 2 解 2 2acos b c得角的关系 边化角 代入 sin asin b 2 cos c sin2 求 sin a 判断三角形的形状 c 2 1 2 化简 1 2 等腰直角 1 由 sin a sin b 2sin c 结合正弦定理得 6 2 42 4 a b 2c 2 由余弦定理得 cos c a2 b2 c2 2ab a2 b2 a 2b 2 4 2ab 3 4a2 1 2b2 2ab 2 2ab 2 3 4a2 1 2b2 2ab 2 2ab 6 2 4 所以 cos c 1 6 2 4 故 cos c的最小值为 6 2 4 2 依题意得 2sin acos b sin c sin a b 2sin acos b sin a b sin a b 0 因此b a c 2a 于是有 sin2a 2 cos 2a cos2a 即 sin2a 3 2sin2a 1 2 1 sin2a 1 2 3 2sin2a 2 解得 sin2a 因此 sin a 1 2 2 2 又b a必为锐角 因此b a abc是等腰直角三角形 4 名师点评 解三角形的四种类型及求解方法 1 已知两角及一边 利用正弦定理求解 2 已知两边及一边的对角 利用正弦定理或余弦定理求解 解的情况可能不唯一 3 已知两边及其夹角 利用余弦定理求解 4 已知三边 利用余弦定理求解 1 在 abc中 若a 2 b 60 b 则c 7 3 由余弦定理b2 a2 c2 2accos b 得 7 4 c2 2c 解得c 3 或c 1 舍 去 2 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sin a sin b c b sin c 则 abc面积的最大值为 因为a 2 所以 2 b sin a sin b c b sin c可化为 a b sin 3 a sin b c b sin c 由正弦定理可得 a b a b c b c 即 b2 c2 a2 bc 5 由余弦定理可得 cos a b2 c2 a2 2bc bc 2bc 1 2 又 0 a 故a 3 又 cos a 所以bc 4 1 2 b2 c2 4 2bc 2bc 4 2bc 当且仅当b c时取等号 由三角形面积公式知s abc bcsin 1 2 a bc bc 1 2 3 2 3 43 故 abc面积的最大值为 3 3 设g是 abc的重心 且sin a 3sin b 3sin c 0 则角b的 7 ga gb 7 gc 大小为 因为g为 abc的重心 所以 0 3 ga gb gc 因此sin a 3sin b 3sin c 由正弦定理 得 77 a sin a b sin b c sin c 原式等价于a 3b 3c 77 由余弦定理得 cos b a2 c2 b2 2ac 3c2 6c2 1 2 又因为b为 abc的内角 故b 3 题型三 解三角形的实际应用 1 2014 全国卷 如图 9 1 为测量山高mn 选择a和另一座山的山顶 c为测量观测点 从a点测得m点的仰角 man 60 c点的仰角 cab 45 以及 mac 75 从c点测得 mca 60 已知山高bc 100 m 则山高mn m 图 9 1 2 如图 9 2 所示 当甲船位于a处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的b处有一艘 渔船遇险等待营救 甲船立即前往营救 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海 6 里c处的乙船 乙船立即朝北偏东 30 角的方向沿直线前往b处营救 则 sin 图 9 2 1 150 2 1 根据题图 知ac 100 m 21 7 2 在 mac中 cma 180 75 60 45 由正弦定理得 am 100 m ac sin 45 am sin 60 3 在 amn中 sin 60 mn 100 150 m mn am3 3 2 2 连结bc 在 abc中 ac 10 ab 20 bac 120 由余弦定理 得 bc2 ac2 ab2 2ab ac cos 120 700 bc 10 再由正弦定理 得 sin 7 bc sin bac ab sin 21 7 名师点评 应用解三角形知识解决实际问题的步骤 1 读题 分析题意 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解题中的有关名词 术语 如坡度 仰角 俯角 方位角等 2 图解 根据题意画出示意图 并将已知条件在图形中标出 3 建模 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦定理 余弦 定理等有关知识正确求解 4 验证 检验解出的结果是否具有实际意义 对结果进行取舍 得出正确答案 1 如图 9 3 所示 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度 在海岸上选取距离 为 1 km 的两个观察点c d 在某天 10 00 观察到该航船在a处 此时测得 adc 30 3 min 后该船行驶至b处 此时测得 acb 60 bcd 45 adb 60 则船速为 km min 7 导学号 19592030 图 9 3 在 acd中 有 6 6 ad sin 60 45 cd sin 180 60 45 30 得ad 3 1 2 在 bcd中 有 bd sin 45 cd sin 180 60 30 45 得bd 1 在 abd中 有ab2 ad2 bd2 2ad bdcos 60 2 12 2 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 所以ab 故船速为 km min 6 2 6 6 2 如图 9 4 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别是 67 30 此时气球的高是 46