（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案 新人教A版必修4.doc

2.5预习课本p109112，思考并完成以下问题.(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量mv是向量的数乘运算(4)功是力f与位移s的数量积1若向量(2,2)，(2,3)分别表示两个力f1，f2，则|f1f2|为()a(0,5)b(4，1)c2 d5答案：d2在四边形abcd中，0，则四边形abcd是()a直角梯形 b菱形c矩形 d正方形答案：c3力f(1，2)作用于质点p，使p产生的位移为s(3,4)，则力f对质点p做的功是_答案：11向量在几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形abcd中，e，f分别是ab，bc的中点，求证：afde.证明：法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又ab，ba，所以a2abb2|a|2|b|20.故，即afde.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则a(0,0)，d(0,2)，e(1,0)，f(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即afde.题点二：平面几何中的平行(或共线)问题2. 如图，点o是平行四边形abcd的中心，e，f分别在边cd，ab上，且.求证：点e，o，f在同一直线上证明：设m，n，由，知e，f分别是cd，ab的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又o为和的公共点，故点e，o，f在同一直线上题点三：平面几何中的长度问题3.如图，平行四边形abcd中，已知ad1，ab2，对角线bd2，求对角线ac的长解：设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即ac.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用典例(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力f1(3,4)，f2(6，5)作用于同一质点，使之由点a(20,15)移动到点b(7,0)，求f1，f2分别对质点所做的功解(1) 如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度因为，所以四边形abcd为平行四边形在rtacd中，acd90，|12.5，|25，所以cad30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30.(2)设物体在力f作用下的位移为s，则所做的功为wfs.(7,0)(20,15)(13，15)w1f1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(焦)，w2f2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(焦)一题多变1变设问本例(2)条件不变，求f1，f2的合力f为质点所做的功解：wf(f1f2)(3,4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(焦)2变条件本例(2)条件变为：两个力f1ij，f24i5j作用于同一质点，使该质点从点a(20,15)移动到点b(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求：f1，f2分别对该质点做的功解：(7,0)(20,15)(13，15)，f1做的功w1f1sf1(1,1)(13，15)28(焦)f2做的功w2f2sf2(4，5)(13，15)23(焦)用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一学业水平达标1已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4()a(1，2)b(1，2)c(1,2) d(1,2)解析：选d由物理知识知f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1,2)2人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()av1v2 bv1v2c|v1|v2| d.解析：选b由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量3已知四边形abcd各顶点坐标是a，b，c，d，则四边形abcd是()a梯形 b平行四边形c矩形 d菱形解析：选a，(3,4)，即abdc.又|，|5，|，四边形abcd是梯形4在abc中，ab3，ac边上的中线bd，5，则的长为()a1 b2c3 d4解析：选b，bd22，即1.|2，即ac2.5已知abc满足，则abc是()a等边三角形 b锐角三角形c直角三角形 d钝角三角形解析：选c由题意得，2()2，0，abc是直角三角形6已知力f(2,3)作用于一物体，使物体从a(2,0)移动到b(2,3)，则力f对物体所做的功是_解析：(4,3)，wfsf(2,3)(4,3)891.答案：17用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 n，则每根绳子的拉力大小为_ n.解析： 如图，由题意，得aoccob60，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 n.答案：108已知a，b是圆心为c，半径为的圆上的两点，且|ab|，则_.解析：由弦长|ab|，可知acb60，|cosacb.答案：9已知abc是直角三角形，cacb，d是cb的中点，e是ab上的一点，且ae2eb.求证：adce.证明：如图，以c为原点，ca所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设aca，则a(a,0)，b(0，a)，d，c(0,0)，e.所以，.所以aaa0，所以，即adce.10已知点a(2，1)求过点a与向量a(5,1)平行的直线方程解：设所求直线上任意一点p(x，y)，则(x2，y1)由题意知a，故5(y1)(x2)0，即x5y70.故过点a与向量a(5,1)平行的直线方程为x5y70.层级二应试能力达标1已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()a10 m/sb2 m/sc4 m/s d12 m/s解析：选b设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10，|v2|2(m/s)2在abc中，ab3，ac2，则的值为()a b.c d.解析：选c因为，所以点d是bc的中点，则()，()，所以()()()(2232)，选c.3.如图，在矩形abcd中，ab，bc2，点e为bc的中点，点f在边cd上，若，则的值是()a. b2c0 d1解析：选a，()|，|1，|1，()()(1)1222，故选a.4.如图，设p为abc内一点，且220，则sabpsabc()a. b.c. d.解析：选a设ab的中点是d.2，p为cd的五等分点，abp的面积为abc的面积的.5若o为abc所在平面内一点，且满足()(2)0，则abc的形状为_解析：()(2)()()()()|2|20，|.答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37(sin 370.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_j，重力所做的功为_j(g9.8 m/s2)解析：物体m的位移大小为|s|(m)，则支持力对物体m所做的功为w1fs|f|s|cos 900(j)；重力对物体m所做的功为w2gs|g|s|cos 5359.80.698(j)答案：0987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力f1，f2，f3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|f1|2 n，方向为北偏东30；|f2|4 n，方向为北偏东60；|f3|6 n，方向为北偏西30，求合力f所做的功 解：以o为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则f1(1，)，f2(2，2)，f3(3,3)，所以ff1f2f3(22,24)又位移s(4，4)，故合力f所做的功为wfs(22)4(24)44624(j)即合力f所做的功为24 j.8.如图，平行四边形abcd中，e，f分别是ad，ab的中点，g为be与df的交点若a，b.(1)试以a，b为基底表示，；(2)求证：a，g，c三点共线解：(1)ba，ab.(2)证明：因为d，g，f三点共线，则dg，即a(1)b.因为b，g，e三点共线，则bg，即(1)ab，由平面向量基本定理知解得，(ab)，所以a，g，c三点共线 (时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形abcde中(如图)，()abc d解析：选b.2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于()a5 b.c. d13解析：选b因为ab(3,2)，所以|ab|，故选b.3设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b的夹角为()a. b.c. d.解析：选c|ab|1，|a|22ab|b|21，cosa，b.又a，b0，a，b.4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()a4 b3c2 d1解析：选b因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.5如图，m，n分别是ab，ac的一个三等分点，且()成立，则()a. b.c. d解析：选b由，且，得.6设点a(1,2)，b(2,3)，c(3，1)，且23，则点d的坐标为()a(2,16) b(2，16)c(4,16) d(2,0)解析：选a设d(x，y)，由题意可知(x1，y2)，(3,1)，(1，4)，232(3,1)3(1，4)(3,14)故选a.7某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为()a90 b30c45 d60解析： 选d如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为aoc.于是tanaoc，aoc60，故选d. 8设d、e、f分别是abc的三边bc、ca、ab上的点，且2，2，2，则与 ()a反向平行b同向平行c互相垂直d既不平行也不垂直解析：选a()()()，()与平行且方向相反9设a，b是两个非零向量()a若|ab|a|b|，则abb若ab，则ab|a|b|c若|ab|a|b|，则存在实数，使得bad若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：选c若|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab，故c正确；选项a：当|ab|a|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项b：若ab，由矩形得|ab|a|b|不成立；选项d：若存在实数，使得ba，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |ab|a|b|不成立10已知点o，n，p在abc所在的平面内，且|，0，则点o，n，p依次是abc的()a重心、外心、垂心 b重心、外心、内心c外心、重心、垂心 d外心、重心、内心解析：选c因为|，所以点o到三角形的三个顶点的距离相等，所以o为abc的外心；由0，得，由中线的性质可知点n在ab边的中线上，同理可得点n在其他边的中线上，所以点n为abc的重心；由得0，则点p在ac边的垂线上，同理可得点p在其他边的垂线上，所以点p为abc的垂心11已知平面上直线l与e所在直线平行且e，点o(0,0)和a(1，2)在l上的射影分别是o和a，则e，其中等于()a. bc2 d2解析：选d由题意可知|cos()(为与e的夹角)o(0,0)，a(1，2)，(1，2)e，e1(2)2|e|cos ，|cos 2.又|e|，2.又由已知可得0，则abc为锐角三角形其中正确的命题有()a bc d解析：选c，错误0，正确由()()0，得|，abc为等腰三角形，正确0cos，0，即cos a0，a为锐角，但不能确定b，c的大小，不能判定abc是否为锐角三角形，错误，故选c.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_解析：(ab)(a2b)|a2|ab2|b|21ab87，ab0，ab.故a，b的夹角为.答案：14已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.解析：|5ab| 7.答案：715已知向量与的夹角为120 ，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析：，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，解得.答案：16.如图，在直角梯形abcd中，abcd，ab2，addc1，p是线段bc上一动点，q是线段dc上一动点，(1)，则的取值范围是_解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则d(0,1)，c(1,1)设q(m，n)，由得，(m，n1)(1,0)，即m，n1.又b(2,0)，设p(s，t)，由(1)得，(s1，t1)(1)(1，1)，即s2，t，所以(2)23，0,1故0,2答案：0,2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角