（浙江专版）2018高考数学一轮复习 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和教师用书.doc

第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nn*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mn*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)g为a，b的等比中项g2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.答案(1)(2)(3)(4)2已知等比数列an的公比为，则的值是()a2bc.d2a2.3(2017浙江五校一联)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则a6()a64b128c256d512a设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6a1q564，故选a.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5在数列an中，a12，an12an，sn为an的前n项和若sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又sn126，126，解得n6.等比数列的基本运算(1)(2017浙江名校联考)已知sn是各项为正数的等比数列an的前n项和，a2a416，s37，则a8()a32b64c128d256(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1)c(2)2n1(1)an为等比数列，a2a416，a34.a3a1q24，s37，s23，(1q2)3(1q)，即3q24q40，q或q2.an0，q2，则a11，a827128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，sn2n1.规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练1(1)在等比数列an中，a37，前3项和s321，则公比q的值为()a1bc1或d1或(2)设等比数列an的前n项和为sn，若27a3a60，则_. 【导学号：51062169】(1)c(2)28(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由sn，得s6，s3，所以28.等比数列的判定与证明已知数列an的前n项和sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若s5，求.解(1)证明：由题意得a1s11a1，2分故1，a1，故a10.4分由sn1an，sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.6分由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.9分(2)由(1)得sn1n.12分由s5得15，即5.14分解得1.15分规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nn*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nn*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nn*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练2设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及sn14an2，有a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2).4分bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.7分(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列.10分(n1)，故an(3n1)2n2.14分等比数列的性质及应用(1)(2017宁波一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am(m2)，数列an的前n项积为tn，若t2m1512，则m的值为()a4b5c6d7(2)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的()a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件(1)b(2)c(1)由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列，an2，所以t2m122m151229，即2m19，所以m5，故选b.(2)若对任意的正整数n，a2n1a2n0，则a1a20，所以a20，所以q0.若q0，可取q1，a11，则a1a2110，不满足对任意的正整数n，a2n1a2n0.所以“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0，b1.7(2016浙江高考)设数列an的前n项和为sn.若s24，an12sn1，nn*，则a1_，s5_.1121an12sn1，sn1sn2sn1，sn13sn1，sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又s24，s11，a11，s53434，s5121.8(2017湖州二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则sn_尺. 【导学号：51062172】2n1依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为2n1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为2，所以sn2n122n1.三、解答题9数列bn满足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和sn.解(1)由bn12bn2，得bn122(bn2)，2分2, 又b12a2a124，数列bn2是首项为4，公比为2的等比数列bn242n12n1，bn2n12.6分(2)由(1)知，anan1bn12n2(n2)，an1an22n12(n2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，10分an(222232n)2n22n22n12n.sn2n2(n2n4).14分10已知数列an的前n项和为sn，且sn4an3(nn*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nn*)，且b12，求数列bn的通项公式解(1)证明：依题意sn4an3(nn*)，n1时，a14a13，解得a11.2分因为sn4an3，则sn14an13(n2)，所以当n2时，ansnsn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首项为1，公比为的等比数列.6分(2)由(1)知ann1，由bn1anbn(nn*)，得bn1bnn1.10分可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2).13分当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn3n11(nn*).14分b组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016温州二模)数列an满足：an1an1(nn*，r且0)，若数列an1是等比数列，则的值等于()a1b1c.d2d由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.2(2017浙江高考冲刺卷(三)已知等比数列an满足an1an92n1(nn*)，则公比q_，数列an的前n项和sn_.23(2n1)等比数列公比q2，又a1a29，所以a13，故sn3(2n1)3已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式. 【导学号：51062173】解(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3