（浙江专版）2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换（讲）.doc

第03节 简单的三角恒等变换【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测简单的三角恒等变换掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2014浙江文4,18；理4，18；2015浙江文11,16；理11；2016浙江文11；理10，16；2017浙江14，18；2018浙江18.1.和（差）角公式；2.二倍角公式；3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.4.对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.5.备考重点： (1) 掌握和差倍半的三角函数公式；(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.【知识清单】1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式c()：cos()coscossinsin；c()：cos()coscos_sin_sin；s()：sin()sincoscossin；s()：sin()sin_cos_cossin；t()：tan()；t()：tan().变形公式：tan tan tan()(1tantan)；.函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定2. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式：s2：sin 22sin_cos_； c2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；t2：tan 2.变形公式：cos2，sin21sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为_【答案】【解析】设射线ob与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，c点坐标为.【1-2】已知：，且，则=_.【答案】 【1-3】【2018年浙江卷】已知角的顶点与原点o重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点p（）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值【答案】（）, （）或【解析】分析：（）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（）由角的终边过点得，所以. 点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等2应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用提醒：在t()与t()中，都不等于k(kz)，即保证tan ，tan ，tan()都有意义；若，中有一角是k(kz)，可利用诱导公式化简【触类旁通】【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】故选d.【变式二】已知均为锐角，且，（）求的值； （）求的值【答案】（）（） =【变式三】已知函数的部分图像如图所示.（）求函数)的解析式，并写出的单调减区间； （）的内角分别是a,b,c.若,求的值. 【答案】（）的单调减区间为. （）. 【解析】（）由图象最高点得a=1， 由周期. 当时，可得 ，因为，所以 . 由图象可得的单调减区间为. （）由（）可知， , ， ， . . . . 考点2 二倍角公式的运用公式的应用【2-1】【2018年新课标i卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选b.【2-2】【2017浙江zdb联盟一模】已知， ，则_， _【答案】 【解析】因为， ，所以 因为，所以，因此 .【2-3】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为 【答案】【解析】由得，而，则，所以，又，则，所以；【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向【触类旁通】【变式一】已知，则的值为（ ）a b c d【答案】a 【变式二】已知，且，则的值为_.【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以.【变式三】已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得 （2）原式考点3 三角恒等式的证明【3-1】求证：sin 2.【解析】左边2 cos sincossin cos sin 2右边原式成立【3-2】求证：2cos().【解析】证法一：右边左边.证法二：2cos()，所以2cos().【3-3】已知，且，. 证明：.【解析】，即，又，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同 (2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径常用代入法、消元法、两头凑等方法（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2()()；.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等【触类旁通】【变式一】求证：.【解析】左边 右边故原式得证【变式二】已知，证明：. 考点4 三角函数公式的综合应用【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中，则导数f (1)的取值范围是_【答案】，2【解析】由题 【4-2】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知，则_；_【答案】 或. .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求 详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或当时，；当时，故填或， 【4-3】【2018届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为已知点的横坐标为，点的纵坐标为（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）. （2）因为点q的纵坐标为，所以sin 又因为为锐角，所以cos 因为cos，且为锐角，所以sin，因此sin22sincos， 所以sin(2) 因为为锐角，所以02又cos20，所以02，又为锐角，所以2，所以2 点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2) 后，容易错误地得到2或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出2，再得出2【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质 【触类旁通】【变式一】【2018届山东省桓台第二中学4月月考】已知函数为奇函数，且，其中（）求的值；（）若， ，求的值【答案】（1） （2）或 【解析】试题分析：（1）由为奇函数得，解得的值；再根据，得（2）根据解析式化简得，再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得的值 （）由（）知 因为所以又，所以或 由所以 由， 得所以 综上， 或【变式二】【2017浙江温州二模】已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）函数的最小正周期是（2） ，又. ，.【易错试题常警惕】易错典例：若sin ，cos 是关于x的方程5x2xa0(a是常数)的两根，(0，)，求cos 2的值易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误正确解析：由题意知：sin cos ，(sin cos )2.sin 2，即2sin cos 0.则sin 与cos 异号又sin cos 0，.2.故cos 2.温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边