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第四章特征函数 4 1一维特征函数的定义及其性质 4 2多维随机变量的特征函数 4 3母函数 4 1一维特征函数的定义及其性质 一 定义及例 二 性质 三 特征函数与矩的关系 四 反演公式及惟一性定理 随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数 引进一个工具 既能与分布函数一一对应 但比分布函数具有更好的分析性质 欧拉公式 2 复随机变量的数学期望 若复随机变量为 其中X Y均为实随机变量 则Z的数学期望定义为 一 定义及例 的分布函数为 称的数学期望为X的特征函数 有时也称为分布函数的特征函数 其中 记X的特征函数为 在不会引起混乱的情况下简写为 1 特征函数的定义 一 定义及例 的分布函数为 称的数学期望为X的特征函数 有时也称为分布函数的特征函数 其中 记X的特征函数为 在不会引起混乱的情况下简写为 1 特征函数的定义 3 特征函数的计算 1 离散型 2 连续型 X的特征函数就是x的函数的期望 此时的函数是由X构造出来的复值随机变量的期望 例4 1 1设随机变量X服从退化分布 即 求X的特征函数 例4 1 2设随机变量X服从参数为p的0 1分布 两点分布 求其特征函数 例4 1 3设随机变量X服从参数为n p的二项分布 求其特征函数 例4 1 4设随机变量X服从参数为的泊松分布 求其特征函数 例4 1 5设随机变量X服从的均匀分布 求其特征函数 当t 0时 例4 1 6设随机变量X服从参数为的指数分布 求其特征函数 二 特征函数的性质 性质4 1 1随机变量X的特征函数满足 性质4 1 2设X的特征函数为 则的特征函数为 性质4 1 3随机变量X的特征函数在R上一致连续 性质4 1 4随机变量X的特征函数是非负定的 即对任意正 整数n 任意复数 以及有 波赫纳 辛钦定理若函数连续 非负定且 则必为特征函数 三 特征函数与矩的关系 定理4 1 1设随机变量X的n阶矩存在 则X的特征函数的k 阶导数存在 且 四 反演公式及唯一性定理 定理4 1 2 反演公式 设随机变量X的分岂有此理函数和特征函 数分别为和 则对于的任意连续点和 有 若记 4 1 8 则 4 1 8 等价于 四 反演公式及唯一性定理 4 1 8 连续点 不连续点 反演公式 推论1 惟一性定理 分布函数及恒等的充分必要条 件为它们的特征函数及恒等 推论2设随机变量X的特征函数于R上绝对可积 则X为具有密度函数的连续型随机变量 且 例设随机变量X的特征函数 求随机变量X的密度函数 定理4 1 3设X为取整数值及0的随机变量 其概率函数为 其特征函数为 则 2020 1 8 25 例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量 且其特征函数为 求随机变量X的分布律 4 2多维随机变量的特征函数 一 定义及例 二 二维随机变量特征函数的性质 三 相互独立随机变量和的特征函数 一 定义及例 定义4 2 1设 X Y 是一个二维随机变量 其分布函数为 为任意实数 记 称为的特征函数 连续型 一 定义及例 定义4 2 1设 X Y 是一个二维随机变量 其分布函数为 为任意实数 记 称为的特征函数 离散型 其中 例4 2 1设二维随机变量的分布列为 求二维随机变量的特征函数 例4 2 2设二维随机变量 求二维随机变量的特征函数 n维随机变量的特征函数 定义设有n维随机变量 则称 为n维随机变量的特征函数 二 二维随机变量特征函数的性质 性质4 2 1设随机变量的特征函数为 则有 1 且对任意 2 3 于实平面上一致连续 4 其中分别为 及 的特征函数 性质4 2 2设皆为常数 为二维随机变量 则 随机变量的特征函数为 例4 2 4设二维随机变量 求二维随机变量的特征函数 性质4 2 3两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等 性质4 2 4设随机变量的特征函数为为任 意常数 则的特征函数为 例4 2 5设二维随机变量 求分布 定理4 2 1随机变量服从二维正态分布的充分必要条件是X与Y的任一线性组合 服从一维正态分布 其中a b c为任意常数 且a b不全为0 定理4 2 2设为二维随机变量 存在 则其特征函 数的偏导数存在 且 例4 2 6设二维随机变量 求分布 三 相互独立随机变量的特征函数 定理4 2 3n个随机变量相互独立的充分必要条件为 的特征函数 则Y的特征函数为 推论设为n个相互独立的随机变量 令 例4 2 7设