七年级下册第七章.doc

第 23 页 共 23 页七年级下册第五章“相交线与平行线”简介课程教材研究所李海东七年级下册第5章是“相交线与平行线”，本章主要研究平面内两条直线的位置关系。重点是垂直和平行关系，以及有关平移变换的内容。本章共安排了四个小节以及三个选学内容，教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：5.1相交线 （3课时）5.2平行线 （3课时）5.3平行线的性质（3课时）5.4平移（2课时）数学活动小结 （2课时）一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，首先研究了相交的情形：探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了领补角和对顶角概念，得出了“对顶角相等”的结论；垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础。研究了相交之后，教科书接着研究了平面内两条直线平行的位置关系：首先引入一个基本事实（平行公理），即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质，并给出了两条平行线的距离的概念；由于学生已经接触了一些命题，如“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”“对顶角相等”，教科书对命题及命题的构成做了简单介绍，使学生初步接触了有关形式逻辑的概念和术语。最后，本章在第4节安排了有关平移变换的内容。从课程标准看，图形变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具。本套教科书在不同阶段安排了这些图形变换的内容。平移是一种基本的图形变换，也是本套教材中引进的第一个图形变换，教科书将“平移”安排在本章最后一节，一方面是考虑将其作为平行线的一个应用，另一方面是考虑引入平移变换，可以尽早渗透图形变换的思想，使学生尽早接触利用平移分析和解决问题的方法。在“平移”一节中，教科书首先给出几个美丽图案，分析这些图案的共同特点，由此引出图形的平移；接着通过一个“探究”栏目让学生画雪人，体会动手平移的过程；再观察两个相邻的雪人，分析它们之间对应点连线的位置和长短关系，发现平移的基本性质，给出了平移变换的概念；最后学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质，因为这些知识是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中要经常用到，这部分重点内容掌握不好，将会影响后续内容的学习。学好这部分内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的。对于推理能力的培养，在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求“说理”，把它作为探究结论的自然延续。本章这样的地方还是很多的，例如，“对顶角相等”性质的得出，由判定两直线平行的方法1得出方法2、3，由平行线的性质得出性质2、3，一些例、习题中，等等。对于说理，由于学生还比较陌生，不知道应由什么、根据什么、得出什么，对于说理所用的三段论的形式由小前提得到结论，以大前提作为理由，一下子也很难适应。因此，逐步深入地让学生学会说理，是本章的一个难点。解决以上难点的关键是要按照教科书的安排，一步一步地、循序渐进地引入推理论证的内容。在本章，结合正文的相关内容，进行了初步的说理训练；在本章最后，学习了命题及命题的构成后，学生也能对说理的理由，三段论的表达形式有进一步的认识用这样前一步为后一步做准备、逐步提高、循序渐进的办法克服难点。二、本章编写特点（一）内容呈现上充分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重要的作用。对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为实验几何到论证几何的过渡做好铺垫。在教学时应充分注意这一点。对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。例如，对于“对顶角相等”，教科书首先设置一个“讨论”栏目，让学生度量两条相交直线所成的角的大小，通过学生的充分讨论，探究发现对顶角相等这个结论，然后再对这个结论进行说理，这样就将实验几何与论证几何结合了起来。再如，平行线性质的处理也采用了这种处理方式。在本章最后的活动1“你有多少种画平行线的方法”中，学生通过讨论书中提供的三位同学画平行线的方法，结合本章所学内容和生活经验，知道不同的学生会得到不同的画平行线的方法。通过这样的“数学活动”培养学生的探究能力和创新意识。（二）注意加强直观性密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题。几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难。为了减少学生学习的困难，在编写这一章时，我们注意根据七年级学生认知的特点，加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活：许多概念、性质、定理的引入都是从解决实际问题的需要来出发的（如从剪刀剪开布片的过程引入研究两条相交直线所成角的问题，从灌溉挖渠的问题引入垂线段最短的性质，等等）；在教材编写时，注意为利用实物、模型、计算机等多种教学手段提供材料，让学生在运动变化中寻找图形的不变的位置关系和数量关系，从而有利于发现图形的性质（如对顶角的性质，垂线、平行线的概念的引入，等等）。在研究有关数学概念、性质后，再注意把所学知识应用到实际生活中（例如，画交通路口示意图、检验一些平行问题、绘制住房平面图等等）。在教学时，也应注意从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合适合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容；通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体抽象具体的过程，提高学生学习数学的兴趣，培养他们应用所学知识解决问题的能力。（三）循序渐进地安排技能训练这一章的教学，除了要介绍一些数学知识，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务。这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的。这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础。教科书在这方面也做了精心安排，在教学时应当注意按照由简单到复杂、由模仿到独立操作的顺序，逐步提高要求。例如，在这一章开始，要求学生进行说理，处于为今后进行推理论证的准备阶段。因此，要求学生能用较准确的语言表达学过的概念、性质，学会一些简单的、基本的推理语言（如“因为所以”“由得”等），要能区分命题的条件和结论等，为能用文字语言准确表达说理过程，也为今后进行推理论证打下一个良好的基础。再如，本章仍旧要重视文字语言、符号语言、图象语言等几种不同语言的相互转化，注意“几何模型图形文字符号”这个抽象的过程，使抽象和直观结合起来，在图形的基础上发展其他语言。在教科书中也注意了由不同方向对图形、文字和符号间转化的设计安排，安排了这样一些练习、习题，教学时也要注意这方面的训练。本章也要求学生能用各种绘图工具画出垂线、平行线，平移一个简单的图形。教科书还安排了“你有多少画平行线的方法”的数学活动，通过这些内容，让学生较快适应，把几何图形与语句表示、符号表示联系起来，使学生能从多角度表示图形、认识图形、把握图形。三、几个值得关注的问题（一）有意识地培养学生有条理地思考和表达对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排。本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，将识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”。例如，在推导“对顶角相等”这个结论时，采用了用语言叙述的方式进行“说理”的方法，在推导平行线的性质（由性质1得出性质2）时，教科书展示了一个简单推理的过程。各个过程中，都没有采用“已知求证证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续。因此，教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不做统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程。总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写。另外，说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练。由于学生的认知能力有差别，基础也不同，所以教学中一方面要按要求有计划地组织好教学，另一方面要注意因材施教。对于学习有困难的学生，一定要一步一步地使每阶段的训练到位，不要急于求成；对接受能力强的学生，要及时调整教学要求，保护他们学习的积极性，满足他们的求知欲，对于教科书中的一些要求说明理由的习题，也可以要求他们把推理的过程用简单的符号化的语言表示出来。（二）注意突出重点内容这一章的内容比较丰富，除了平面内两条直线间的位置关系（重点是垂直和平行关系），还包括平移变换的内容以及一些命题的内容。由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点。例如，研究两条直线的位置关系时，重点是要研究一些图形的性质，如对顶角相等、垂线的性质，以及平行线的判定和性质等，对于一些定义，不要做严格的形式化的要求。教科书中邻补角、对顶角的概念都是结合图形，分析其位置关系给出的；垂直、平行的概念则是承接了前面学段学过的概念。再如，对于命题、定理、证明等概念，教科书是分阶段、分散安排的。在本章，要求学生在学过一些命题（包括数与代数的以及空间与图形的）的基础上，了解命题的概念以及命题的构成（如果那么的形式），知道一个命题可能是正确的，也可能是错误的，不要在这里过多要求。由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行。例如，讲“5.1.1相交线”这一部分时，要抓住“对顶角相等”这个重点。实际上，教科书“讨论”栏目设计的表格在教学时可以逐步呈现，由两条直线相交的图形，让学生寻找其中所成的角，对它们进行分类，根据位置关系对它们进行“命名”，然后寻找它们的大小关系，最后再进行说理。在课堂上识图、画图、语言训练、作练习都可以主要围绕找“对顶角”或应用“对顶角相等”进行。（三）处理好平移内容从课程标准看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等。通过对图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具。平移是一种基本的图形变换，在本章第4节安排了平称变换的内容。在平移一节中，教科书首先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的。通过探索平移前后两个图形之间的关系，发现“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质，并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。对于平移的内容，本章只是一个初步认识。本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度用代数的方法研究平移变换，将平移变换从数和形两方面统一起来，使学生对平移变换有更深刻的了解，为今后使用平移变换发现几何结论，研究几何问题打下基础。另外，在八年级下册“四边形”一章，还结合平行四边形的判定和性质对平移过程中“对应点的连线平行且相等”的性质做了理论上的推导；在九年级上册“旋转”中，还要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用。这样处理平移内容。能使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解，有助于他们逐步掌握平移的内容，在教学时要注意教科书的安排，完成好这部分内容的教学。（四）重视信息技术的应用信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，这可以使得许多传统的数学教学做不好或做不到的事情变得容易或能做。在这一章，信息技术工具是大有用武之地的，教科书还专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，对教科书中一些可以应用信息技术的地方进行了举例说明。例如，我们随意画两条相交直线，就得到了一个相交线的“模型”，这个模型比我们用木条做成的模型又进了一步，它不仅可以随意转动，通过寻找转动过程中角的不变的位置关系得到领补角和对顶角，还可以利用软件的测量功能，测出这些角的大小，再观察转动过程中角的大小的变化，去发现邻补角、特别是对顶角之间的数量关系。这是传统方法不能做到的，也正是信息技术工具的优势所在。其他探索垂线的性质、探索平行线的性质和判定方法也是类似的。因此，有条件的学校，应尽可能多地使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习。七年级下册第六章“平面直角坐标系”简介课程教材研究所左怀玲伟大的法国数学家笛卡儿（Descarts，15961650）创立了直角坐标系，用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来。他的这一天才创见，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁；提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个特点。原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时，放在初中三年级“函数”一章，作为学习函数的基础知识来安排。这套教科书将“平面直角坐标系”单独设章，7课时，放在7年级下学期学习，目的是让学生尽早接触平面直角坐标系这个数学工具，尽早感受数形结合的思想。本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：6.1平面直角坐标系 （3课时）6.2坐标方法的简单应用 （3课时）数学活动小结（1课时）一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构本章知识结构如右上图所示。（二）内容安排本章的主要内容包括平面直角坐标系的有关概念和点与坐标（横、纵坐标均为整数）的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移等内容。教科书首先从实际中需要确定物体的位置（如从确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置出发，引出有序数对的概念，指出利用有序数对可以确定物体的位置，由此联想到是否可以用有序数对表示平面内点的位置的问题，结合数轴上确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，学习平面直角坐标系的有关概念，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限，建立点与坐标（横、纵坐标整数）的对应关系等。对于坐标方法的简单应用，本章主要学习平面直角坐标系在确定地理位置和表示平移变换中的应用。用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用。本章在安排这部分内容时，首先设置一个观察栏目，让学生观察地图上是怎样利用坐标表示一个地点的地理位置的，从中得到启发，来学习建立坐标系，确定一个地点的地理位置的方法。接下去教科书设置了一个探究栏目，要求学生画出一幅地图，标出学校和三位同学家的位置。要用平面直角坐标系表示地理位置，就要考虑如何建立坐标系的问题，首先是确定原点和坐标轴的正方向，教科书选用了以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立坐标系，并确定一定的比例尺，根据三位同学家的位置情况，在坐标系中标出这些地点的位置，并归纳给出绘制平面示意图的一般过程。用坐标表示平移，从数的角度刻画了第5章平移的内容，本章主要研究点（或图形）的平移（上、下、左、右平移）引起的点（或图形顶点）坐标的变化，以及点（或图形顶点）坐标的变化引起的点（或图形）的平移。教科书首先设置一个探究栏目，分析在平面直角坐标系中，将一个已知点向右（或向左）平移某个单位长度得到一个新点，这个点的坐标与平移前的点的坐标有什么关系，同样如果将这个点分别向上（或向下）平移某个单位长度得到新的点，这个点与平移前点的坐标又有什么关系；通过分析平移前后点的坐标的变化，发现坐标的变化规律，比如将一个点向右平移某个单位长度，平移后得到的点的坐标是纵坐标不变，横坐标加上这个单位长度。对于图形的平移引起的图形顶点坐标的变化，教科书是在练习中给出的，让学生自己完成。从这个练习的安排上可以看出，本套教科书对于练习有一种新的考虑，就是练习不全是对正文内容的复习和巩固，有些练习是正文的一部分，是正文内容的延伸和拓展。接下去教科书讨论了一个三角形顶点坐标的某种规律性变化引起的三角形的平移。比如，将三角形三个顶点的横坐标都减去某个正数，纵坐标不变，得到三个新的点，连接这三个点，得到一个新的三角形，这个新三角形与原来的三角形在大小、形状和位置上有什么关系等，通过探究发现这两个三角形大小形状完全相同，只是位置不同实际上是对三角形进行平移，在此基础上教科书归纳给出了有关的规律。（三）课程学习目标本章学习目标如下。1.通过实例认识有序数对，感受它在确定点的位置中的作用。2.认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标（横、纵坐标为整数）描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标（横纵坐标为整数）。3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用。4.在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换；通过研究平移与坐标的关系，使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数问题与几何问题的相互转换。5.结合实例，了解可以用不同的方式确定物体的位置。二、本章编写特点（一）注意加强知识间的相互联系平面直角坐标系是以数轴为基础的，两者之间存在着密切的联系：平面直角坐标系是由两条相互垂直、原点重合的数轴构成的，坐标平面内点的坐标是根据数轴上点的坐标定义的，平面内点与坐标的对应关系类似于数轴上点与坐标的对应关系。本章编写时注意突出了平面直角坐标系与数轴的联系。对于平面直角坐标系的引入，教科书首先从学生熟悉的数轴出发，给出点在数轴上的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，在此基础上，教科书类比数轴，探讨了在平面内确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，给出平面直角坐标系的有关概念。这样通过加强平面直角坐标系与数轴的联系，可以帮助学生更好地理解点与坐标的对应关系，顺利地实现由一维到二维的过渡。（二）突出数形结合的思想，体现平面直角坐标系的作用无论是在数学还是在其他领域，平面直角坐标系都有着非常广泛的应用。由于平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用几何的方法研究代数问题，又可以用代数的方法研究几何问题。对于平面直角坐标系的这种桥梁作用，本套教科书给予了充分重视：本章中，编写了利用坐标的方法研究平移的内容，从数的角度刻画平移变换，这就是用代数的方法研究几何问题，体现了平面直角坐标系在数学中的作用。通过对本章的学习，让学生看到平面直角坐标系的引入，加强了数与形之间的联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具。用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用。用经纬度表示地球上一个地点的地理位置，用极坐标表示区域内地点的位置，用平面直角坐标表示区域内地点的位置，等等，实际上都是利用了有序数对与点的对应关系，是坐标与点一一对应思想的表现。教科书突出了这种对应关系，利用这种对应关系研究了如何建立坐标系用坐标表示地理位置的问题，使学生体会到坐标思想在解决实际问题中的作用。（三）注重学生的认知规律本章编写时，改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法，而是将本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开，从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系，也就是从实际需要引出坐标系这个数学问题，然后展开对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，最后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题，让学生经历由实际问题抽象出数学问题，再通过对数学问题的研究解决实际问题的过程，也就是经历“实践理论实践”的认识过程。（四）内容编写生动活泼本章编写时，注意结合本章内容的特点，将枯燥的数学问题赋予了有趣的实际背景，使内容更符合学生的年龄特点，激发学生学习数学的兴趣。例如，教科书习题6.2的第1题“三架飞机P、Q、R 保持编队飞行，分别写出它们的坐标。30秒后，飞机P 飞到P位置，飞机Q、R 飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标”，这个问题实际上是一个三角形平移的问题。再比如，让学生画出本学校的平面示意图，用坐标表示动画制作过程中小鸭子的位置变化，用坐标表示某地古树名木的位置等。从数学上讲这些都是关于点与坐标对应关系的问题，本章编写时注意给这些数学问题加上一个有趣的背景，增加了学生学习本章内容的兴趣。三、几个值得关注的问题（一）密切联系实际本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置这一问题。教科书首先从建国50周年庆典中的背景图案、确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置等实际出发，引出有序数对，进而引入平面直角坐标系。通过对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，然后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题（如确定同学家的位置等），让学生经历由实际问题抽象出数学问题，再通过对数学问题的研究解决实际问题的过程。这样的一种处理，不是从数学角度引入平面直角坐标系，而是密切联系生活实际，从实际的需要出发学习直角坐标系。教学中可以结合学生的实际情况，利用学生周围熟悉的素材学习本章内容，让学生充分感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用。（二）准确把握教学要求对于某些重要的概念和方法，本套教科书采用了螺旋上升的编排方式。例如，对于平移变换，教科书首先在上一章“相交线与平行线”中安排了一节“平移”，探讨得出“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本性质；在本章又安排了一小节“用坐标表示平移”的内容，用坐标刻画了平移变换，从数的角度进一步认识平移变换。对平移变换以后还要继续学习，例如在本册书第10章“实数”进一步安排了在实数范围内研究平移的内容，在八年级下册“四边形”一章中，将对“对应点的连线平行且相等”这条平移变换的基本性质进行论证，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础。对于平面直角坐标系，本章只要求学生会在方格纸中建立直角坐标系，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标，其中点的坐标都是整数，这实际研究了点与有序整数对的对应关系。在第10章“实数”中将把点的坐标扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等问题打下基础。因此，教学中要注意内容安排的这个特点，准确把握本章对于平移变换和平面直角坐标系的教学要求，以一个动态的、发展的观点看待教学要求。（三）注意留给学生思考的空间本章编写时，注意结合本章内容特点，利用一些“探究”“思考”“归纳”等栏目，给学生留出了较大的思考空间。例如，在6.2.2小节中，教科书首先设置一个“探究”栏目，让学生探究将几个已知坐标的点上、下、左、右平移后得到新的点，各对应点之间的坐标有怎样的变化规律，接下去就设置一个“归纳”栏目，栏目中留有空白，让学生写出平移过程中对应点的坐标的变化规律。这实际上让学生经历了一个由特殊到一般的归纳过程。对于这个规律的获得，教科书仅用了两个栏目，篇幅很少，而给学生留出了较大的探索空间。因此，教学中，要注意留给学生足够的时间，使学生充分活动起来，通过探究发现并总结规律。对于这些规律，不要让学生死记硬背，而要让学生在坐标系中，结合图形的变换理解这些结论。七年级下册第七章“三角形”简介课程教材研究所薛彬“三角形”一章章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习镶嵌”。这与以往的内容安排有所不同。按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级。而新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌。本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：7.1与三角形有关的线段（2课时）7.2与三角形有关的角（2课时）7.3多边形及其内角和（2课时）7.4课题学习镶嵌（2课时）数学活动小结（2课时）一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构本章知识结构框图如右上所示。（二）教科书内容本章首先介绍三角形的有关概念和性质。例如，在了解三角形的高的基础上，了解三角形的中线、角平分线。又如，在知道三角形的三个内角的和等于180的基础上，了解这个结论成立的道理。通过本章内容的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识。另一方面，这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识。以三角形的有关概念和性质为基础，本章接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式。三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来。三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形。多边形的内角和公式就是利用上述方法，由三角形的内角和等于180得到的。将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接着安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习。镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式。通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。（三）课程学习目标1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性；2.了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3.了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式；4.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。二、本章编写特点（一）加强与实际的联系三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。多边形概念的引入，也是类似处理的。三角形有很多重要的性质，如稳定性、三角形的内角和等于180。教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性。这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条。为什么要这样做呢？”然后让学生通过实验得出三角形有稳定性和四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理。除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性和四边形的不稳定性的实际例子。对于三角形的内角和等于180，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系。在本章的课题学习中，教科书从用地砖铺地引入镶嵌，进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计。在编写时关注上述从实践到理论，再从理论到实践的全过程，可以使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深。（二）加强与已学内容的联系学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理。上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180，可以启发学生得出说明这个结论正确的方法，而说明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义。在编写时既注意本章内容与已学内容的联系，帮助学生掌握本章所学内容，又注意让学生通过本章内容的学习，复习巩固已学的内容。（三）加强推理能力的培养在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明做准备。为达到上述要求，在编写时注意了以下内容的处理：1.由“两点之间，线段最短”说明“三角形两边的和大于第三边”；2.由平行线的性质与平角的定义说明“三角形的内角和等于180”；3.由“三角形的内角和等于180”得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；4.由“三角形的内角和等于180”得出多边形内角和公式；5.由多边形内角和公式得出多边形外角和公式；6.由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面。上述内容都包含了推理，教科书注意分析得出结论的重要性，通过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历整个过程。三、几个值得关注的问题（一）把握好教学要求与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到。如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍。同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，以后还会知道这个点是三角形的重心。在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边对应相等的两个三角形全等”后就可进一步明白其中的道理。说明三角形的内角和等于180有一定的难度，学生只要了解得出结论的过程，不要在做辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握。本章仍是正式介绍证明的准备阶段，对推理的要求应循序渐进。（二）开展好课题学习可以如下展开课题学习。1.背景：了解多边形覆盖平面问题来自实际。2.实验：发现有些多边形能覆盖平面，有些则不能。3.分析：讨论多边形能覆盖平面的基本条件，发现问题与多边形的内角大小有密切关系，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析。4.运用：进行简单的镶嵌设计。首先引入用地砖铺地、用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖。然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并记下实验结果：（1）用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1），用正五边形不能镶嵌成一个平面图案；图1（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案，用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案；（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案，用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案（图2）。图2观察上述实验结果，得出多边形能镶嵌成一个平面图案需要满足的两个条件：（1）拼接在同一个点（例如图2中的点O）的各个角的和恰好等于360（周角）；（2）相邻的多边形有公共边（例如图2中的OA两侧的多边形有公共边OA）。运用上述结论解释实验结果，例如，三角形的内角和等于180，在图2中，1+2+3=180。因此，把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2），一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360，并且使边长相等的两条边贴在一起。于是，用三角形能镶嵌成一个平面图案。又如，由多边形内角和公式，可以得到五边形的内角和等于（5-2）180=）540。因此，正五边形的每个内角等于（5405=）108。360不是108的整数倍，也就是说用一些108的角拼不成360的角。因此，用正五边形不能镶嵌成一个平面图案。最后，让学生进行简单的镶嵌设计，使所学内容得到巩固与运用。七年级下册第八章“二元一次方程组”简介课程教材研究所田载今一、本章主要内容和课程学习目标（一）本章主要内容本章属于课程标准中的“数与代数”部分。涉及求多个未知数的问题是普遍存在的，而方程组是解决这些问题的有力工具。本章在学生对一元一次方程已有认识的基础上，对二元一次方程组进行讨论，并由此为今后进一步学习方程组及不等式组奠定基础。本章的主要内容包括：利用二元一次方程组分析与解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和用代入法、加减法解二元一次方程组。其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是全章重点，同时也是教学中的难点。使学生经历建立二元一次方程组这种数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，是本章的中心任务。由于含有多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点。全章共包括三节：8.1二元一次方程组8.2消元8.3再探实际问题和二元一次方程组8.1节首先从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的方程。然后，教科书以这两个具体方程为例，让学生体验二元一次方程、二元一次方程组的特征，归纳出二元一次方程组及其解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。8.2节的标题“消元”点出了这一节的核心。二元一次方程组含有两个未知数，如果消去其中一个未知数，由两个方程得出一个方程，就得到前面已学习过的一元一次方程，由它可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这一节首先从讨论解方程组的需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度认识消元思想。然后，教科书依次讨论了两种通过消元解方程组的常用方法代入法和加减法，并结合具体问题用框图形式表示了这两种解法的一般过程。本章最后的8.3节特别安排了“再探实际问题与二元一次方程组”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题（“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出出题”），让学生利用方程组进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，把全章所强调的以方程组为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度。为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较（探究1），开放地寻求设计方案（探究2），根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组（探究3）。安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想；在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想。后一讨论也是在解决实际问题的背景下进行的。此外，本章对于数学文化也予以关注，如“阅读与思考一次方程组的古今表示及解法”中，从九章算术中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就。编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶。（二）本章知识结构1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见图1）图1图2（三）课程学习目标概括地说，本章教学应考虑以下四个目标：1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型；2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；3.了解解二元方程组的基本目标（使方程组逐步转化为x =a，y =b 的形式），体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；4.通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见图1），体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。（四）课时安排本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：8.1二元一次方程组（1课时）8.2消元（4课时）8.3再探究实际问题和二元一次方程组（3课时）数学活动小结（2课时）二、本章编写特点本章的编写在指导思想和内容安排方面具有两个主要特点。（一）注重知识的实际背景，突出建模思想同七年级上册的第二章“一元一次方程”一样，在本章的各个阶段编者都选择了一些比较典型的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料。实际问题始终贯穿于全章，对二元一次方程组及其相关概念的引入和对二元一次方程组解法的讨论，是在建立和运用方程组这种数学模型的过程之中进行的。本章开篇的引入问题是篮球联赛中的胜负场数问题，虽然这个问题可以用已学的一元一次方程解决，但是直接设两个未知数，再列方程组是顺理成章的解法，本章就从这个想法出发引入新课题。在后面关于两种消元解法的讨论中，教科书也注意结合实际问题，把列方程组和解方程组结合起来。最后的8.3节的设计意图为：使学生在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性等能力，感受建立数学模型的作用。这一节共安排了三个实际问题，这三个问题比前面的问题更接近现实，数量关系相对比较隐蔽，因此分析解决难度比以前的问题也要大些。教学中应发挥自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流。（二）注重解法背后的算理，强调消元思想方程组中含有多个未知数时，消元思想解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略，是解决这类问题的重要基础，而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施。本章在有关方程组解法的讨论中，注意先使学生了解消元的基本思想，然后寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸显出来。在提出消元思想后，教科书对一种具体的消元解法的过程进行了归纳，即对代入法的基本步骤进行概括。代入法通过“把一个方程（必要时先做适当变形）代入另一个方程”实现消元。教学中应注意引导学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法与消元结合起来，使学生明确如此操作的目的性。类似地，教科书在两个简单例子之后，对另一种具体的消元解法加减法的过程进行了归纳。加减法通过“把两个方程相加减”实现消元，而加减的条件是“两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反”。教学中仍应注意引导学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法与消元结合起来，使学生明确如此操作的目的性。教科书还以框图形式表示了两种解法的程序，突出了它们是如何实现消元这一关键步骤的。加减法和代入法的共同点是，它们都是通过消元解方程组，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个未知数；它们的不同点是，消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对一个方程组用哪个消元方法解都可以，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法。为使学生认识到这些，可以引导他们用不同方法解同一方程组，然后对不同方法加以比较，逐步积累经验，提高选择能力。三、几个值得关注的问题前面已介绍了本章的主要内容、教学目标、编写特点等，使用本章教材进行教学时，应关注下面的问题。（一）联系已有的方程知识，做好从一元到多元的转化本章从一个篮球联赛中的胜负场数问题开始讨论，其中含有两个未知数。在此之前学生已经学习过一元一次方程的内容，用代数方法解决上述问题有两种不同方法：一种方法是设一个未知数为x，并用含有x的式子表示另一个未知数，根据问题中的等量关系列出一元一次方程；另一种方法是直接设两个未知数x和y，根据问题中的等量关系列出两个二元一次方程，由它们组成方程组。比较这两种方法，可以发现，第一种方法的难点在于“列”，第二种方法的难点在于“解”。由于列一元一次方程时要综合考虑问题中的各等量关系，因此有一定难度，但是学生已经熟悉一元一次方程的解法；列二元一次方程组时可以分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程，一般说这比将这个问题列成一个一元一次方程容易，但是由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题。用方程组是新方法，这种方法对于解含有多个未知数的问题很有效，并且它的优越性会随着问题中未知数个数的增加体现得更明显。二元一次方程组是方程组中最基本的类型，通过学习它可以了解一般的一次方程组，提高对多元问题的认识。由于前面已学过一元一次方程的内容，学生已经对方程有一定的认识，会用一元方程表示实际问题中的数量关系，会解一元一次方程。从解法上说，多元方程消元后要化归为一元方程，即一元一次方程的认识为进一步学习二元一次方程组奠定了基础。本章的内容是在前面基础上的进一步发展，即对由“一元”向“多元”发展，所涉及的实际问题未知数多，数量关系较复杂，解法步骤也增加了“消元”和“回代”，更强调未知向已知转化中解法程序化的思想。本章学习中，应注意所学内