高中数学 第一章 三角函数 1.9 三角函数的简单应用学案 北师大版必修4.doc

1.9三角函数的简单应用学习目标重点难点1将三角函数与物理知识联系在一起并加以应用2面对实际问题，会建立数学模型，即把问题提供的“条件”逐条翻译成“数学语言”3培养学生观察问题和探索问题的能力.重点：1通过对实际问题的分析，抽象出三角函数模型2根据函数图像写解析式难点：利用三角函数知识解决实际问题疑点：如何根据实际问题建立三角函数模型.解答三角函数应用题的基本步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题1审题审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件2建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系建立三角函数模型这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题3解模运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决4回归实际问题应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判预习交流交流电的电压u(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用u220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得这最大值的时间答案：预习交流：解：(1)当t0时，u110(伏)，即开始时的电压为110伏(2)t(秒)，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒(3)电压的最大值为220伏当100t，即t秒时第一次获得这个最大值在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1已知三角函数的模型解决实际问题如图所示，表示电流i(单位：安)与时间t(单位：秒)的关系式iasin(t)(a0，0)在一个周期内的图像(1)试根据图像写出iasin(t)的解析式；(2)为了使iasin(t)中，t在任意一段秒的时间内能同时取最大值a和最小值a，那么正整数的最小值为多少？思路分析：这是一道给出图像来求解析式，进而研究在某区间内能否有最值的问题首先找振幅和周期，从而求出a和，再用一个特殊点的坐标(注意“五点”的顺序)代入或根据平移情况求出. 在大于或等于一个周期的区间内可同时有最大值和最小值如图所示，某市拟在长为8 km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数yasin x(a0，0)，x0,4的图像，且图像的最高点为s(3,2)；赛道的后一部分为折线段mnp.为保证参赛运动员的安全，限定mnp120，求a，的值和m，p两点间的距离这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首先求出待定的a，b的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键2建立三角函数模型解决实际问题如图所示，摩天轮的半径为40 m，o点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的p点的起始位置在最低点处(1)试确定在时刻t min时p点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间p点距离地面超过70 m?思路分析：首先建立平面直角坐标系，然后确定p点距离地面的高度y与时刻t的函数关系，进而解决第(2)问受日月的引力，海水会发生涨落这种现象叫作潮汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋某港口水的深度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作yf(t)，下面是某日水深的数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，yf(t)的曲线可以近似地看成函数yasin tb的图像(1)试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解决这类问题首先要建立坐标系，根据题意确定函数的解析式，然后再解决相关问题3三角函数的最值问题如图所示，abcd是一块边长为100 m的正方形地皮，其中ast是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点p在上，相邻两边cq，cr落在正方形的边bc，cd上求矩形停车场pqcr面积的最大值和最小值(提示：sin2cos21)思路分析：设pab(090)，用表示出pq，pr，从而面积spqpr，转化为求三角函数的最值如图，动点p在以ab4为直径的半圆上自a向b运动，设x，abp的面积为s，试把s表示成x的函数，并求当s取最大值时x的值处理以三角形为模型的三角函数的实际应用问题的关键在于如何巧妙地引入角，使实际问题转化为三角函数问题答案：活动与探究1：解：(1)由图已知a300，t，所以100.又因为是“五点法”作图的第三个点，所以100.所以.所以i300sin.(2)依题意有t，即.所以200，又因为n，所以的最小正整数为629.迁移与应用：解：依题意，有a=，=3，又t=，=.y=sinx.当x=4时，y=sin=3，m(4,3)又p(8,0)，mp=.活动与探究2：解：(1)以中心o为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min时p距地面高度为y，依题意得又t=3，=.由于起始位置在最低点处，则=.y=40sin+50.(2)令40sin+5070，sin，2k+2k+(kz)，2k+t2k+(kz)，3k+1t3k+2.令k=0，得1t2.因此，共有1min p点距离地面超过70 m.迁移与应用：解：(1)由已知数据作出散点图如下，易知函数y=f(t)的周期t=12，振幅a=3，b=10，所以y=3sin+10，t0,24(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于56.511.5(米)，所以3sin 1011.5.所以sin .解得2kt2k(kz),12k1t12k5(kz)在同一天内，取k0或1，所以1t5或13t17.所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，它至多能在港内停留16小时活动与探究3：解：设pab=(090)，延长rp交ab于点m，则am=90cos ，mp=90sin ，pq=mb=100-90cos ，prmrmp10090sin .故矩形pqcr的面积为spqpr(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .设sin cos t(1t)，则sin2cos22sin cos t2，sin cos .s10 0009 000t8 1004 0502950.故当t时，smin950(m2)；当t时，smax14 0509 000(m2)迁移与应用：解：由弧长公式得aop(0x2)，abp的面积是s2oaopsin 222sin 4sin ，即s4sin .当sin 1，即，x时，smax4.1如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是()a该质点的振动周期为0.7 sb该质点的振幅为5 cmc该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大d该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零2如图所示，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心o距离水面2 m，已知水轮自点a开始1 min旋转4圈，水轮上的点p到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yasin(x)2，则()a，a3 b，a3c，a5 d，a53已知简谐运动f(x)2sin的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期t和初相分别为()at6， bt6，ct6， dt6，4动点a(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t0时，点a的坐标是，则当0t12时，动点a的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是_5如下图是某地一天从6时至14时的温度变化曲线，近似满足函数yasin(x)b.(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式答案：1b2a解析：t15，.又ymax5，a3.3a解析：t6，将点(0,1)代入方程，有sin .，.40,1和7,12解析：设点a的纵坐标y关于t的函数关系式为ysinsin.令2kt2k(kz)，故12k5t12k1.又由0t12，故k取0,