（课标通用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用大题冲关 理.doc

第三章 导数及其应用高考中导数问题的热点题型函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，常涉及的问题：研究函数的性质(如求单调区间、求极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题，运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置被概率统计解答题占据，因此很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现试题类型齐全，中、高档难度，突出对四大数学思想方法的考查热点一利用导数研究函数性质的综合问题利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有涉及主要有以下两种考查形式：(1)研究具体函数的单调性、极值或最值，常涉及分类讨论思想(2)由函数的单调性、极值或最值，求解参数的值或取值范围典题12017四川成都模拟已知关于x的函数f(x)ln xa(x1)2(ar)(1)求函数f(x)在点p(1,0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有极小值，试求a的取值范围；(3)若在区间1，)上，函数f(x)不出现在直线yx1的上方，试求a的最大值解(1)f(x)2a(x1)(x0)，f(1)1，又f(1)0，f(x)在点p(1,0)处的切线方程为yx1.(2)f(x)(x0)，令g(x)2ax22ax1(x0)，当a0时，f(x)0无解，f(x)无极小值；当a0，g(x)0有两解x1，x2，且x10x2；当0x0，f(x)0，当xx2时，g(x)0，f(x)0时，g(0)10，g(x)的对称轴为x，要使函数f(x)有极小值，则0，即4a28a0.a2，a2.此时g(x)0有两正解x3，x4，不妨设x3x4，则当x3xx4时，g(x)0，f(x)x4时，g(x)0，f(x)0，此时f(x)有极小值f(x4)综上所述，a的取值范围为(2，)(3)由题意，f(x)x1，x1，即ln xa(x1)2x1，x1.下面证明：ln xx1，x0.记h(x)ln x(x1)ln xx1，x0，则h(x)1，x0，当0x0，当x1时，h(x)0.当a0时，f(x)ln xx1；当a0时，取x1，则f(x)ln xa(x1)(x1)lna(x1)ln 1x1x1，与题意矛盾故a的最大值为0.1判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x)0或f(x)0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小2若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题2017山东济南模拟已知函数f(x)x2eax，ar.(1)当a1时，求函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性解：(1)因为当a1时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以f(1)e，f(1)3e.从而yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye3e(x1)，即y3ex2e.(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当a0时，若x0，则f(x)0，若x0，则f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)上为减函数，在区间(0，)上为增函数当a0时，由2xax20，解得x0或x，由2xax20，解得0x.所以f(x)在区间(，0)与上为减函数，在上为增函数当a0时，由2xax20，解得x0，由2xax20，解得x或x0.所以，当a0时，函数f(x)在区间，(0，)上为增函数，在区间上为减函数；综上所述，当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，0)，上单调递减，在上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减，在，(0，)上单调递增热点二利用导数研究函数的零点或曲线的交点问题此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题典题2已知函数f(x)xln x(a1)x(ar)(1)求函数f(x)在区间上的最小值；(2)若关于x的方程f(x)2x33x2在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围解(1)f(x)ln xa(x0)由f(x)0得xea.当x(0，ea)时，f(x)0，f(x)为增函数当ea1时，f(x)在上为增函数，f(x)minf；当eae，即1a1时，f(x)在 上为减函数在ea，e上为增函数，f(x)minf(ea)ea；当eae，即a0，方程f(x)2x33x2在上有两个不相等的实数根，即方程2x23xln x(a1)0在上有两个不相等的实数根令g(x)2x23xln x(a1)，则g(x)4x3(x0)，令g(x)0，得x1(舍去)，x21，因此g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，因此，若方程2x23xln x(a1)0在上有两个不相等的实数根，只需方程2x23xln x(a1)0在和(1,2上各有一个实根即可，于是解得0aln 2，故a的取值范围是(0，ln 2利用导数讨论方程的根(函数零点)主要有两种方法：一是运用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决设函数f(x)ln x，mr.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数解：(1)由题设，当me时，f(x)ln x，定义域为(0，)，则f(x)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)可得，当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点热点三利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题是近几年高考热点，常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间a上恒成立(存在性)，求参数的取值范围(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立(3)大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题考查角度一不等式的证明及恒成立问题典题32017辽宁沈阳质量监测已知函数f(x)aln x(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点a(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0恒成立，求实数a的取值范围(1)解f(x)，f(2)2，a4.(2)证明令g(x)a，则g(x)a.令g(x)0，得x1，g(x)0，得0x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)解由题意可知eex，化简得ln x，又x(1，e)，a.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)h(e)e1，ae1.故实数a的取值范围为e1，)求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解考查角度二等价转化法破解双参数存在性问题典题4设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)m成立，求满足上述条件的最大整数m；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)m成立，等价于g(x1)g(x2)maxm.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.由g(x)0，解得0x0，解得x.又x0,2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，g(x)maxg(2)1，g(x)ming.所以g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min1m，则满足条件的最大整数m4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max.由可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，x，则h(x)12xln xx，易知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.所以函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间1,2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以实数a的取值范围是1，)双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法本例(1)第问是“存在性”问题，转化方法是：如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)m成立，则可转化为mg(x1)g(x2)max，即求解使不等式mg(x)maxg(x)min成立时的m的最大取值；第问是“恒成立”问题，转化方法是：如果对于任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)成立，则可转化为在区间上，f(x)ming(x)max，求解得到实数a的取值范围已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围解：(1)对f(x)求导，得f(x)axln a2xln a，可得f(0)0.因为f(0)1，所以函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)由知，f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.因为当a0，a1时，总有f(x)在r上是增函数，又f(0)0，所以不等式f(x)0的解集为(0，)，故函数f(x)的单调递增区间为0，)(3)因为存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1成立，而当x1,1时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以只需f(x)maxf(x)mine1即可对于x1,1，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)1ln a极小值a1ln a所以f(x)minf(0)1，f(x)max