（重点班）高三数学一轮复习 第八篇 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第一课时 证明平行和垂直课时训练 理.doc

第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直 【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,4利用向量解决垂直问题2,31.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1,e,f,g分别为ab,ad,aa1的中点,求证:平面efg平面b1cd1.证明:建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,则a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d(0,0,0),a1(1,0,1),b1(1,1,1),d1(0,0,1).得e(1,0),f(,0,0),g(1,0, ),ef=(-,-,0),eg=(0,-, ).设n1=(x1,y1,z1)为平面efg的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面b1cd1的法向量.则n1ef=0,n1eg=0,即-12x1-12y1=0,-12y1+12z1=0.令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面efg平面b1cd1.2.平行六面体abcda1b1c1d1中,a1ab=a1ad=bad=60,所有棱长都为2.(1)求对角线ac1的长.(2)求证:ac1平面a1bd.(1)解:以ab,ad,aa1为基底,则ac1=ab+ad+aa1,两边平方得ac12=ab2+ad2+aa12+2abad+2abaa1+2adaa1=22+22+22+222+222+222=24,所以|ac1|=26,即ac1的长为26.(2)证明:ac1=ab+ad+aa1,bd=ad-ab,所以ac1bd=(ab+ad+aa1)(ad-ab)=abad+ad2+aa1ad-ab2-adab-aa1ab=22+22+22-22-22-22=0,所以ac1bd,同理ac1ba1,即ac1bd,ac1ba1,又bdba1=b,所以ac1平面a1bd.3.(2016安阳模拟)在四棱锥pabcd中,底面abcd为正方形,pd平面abcd,e,f分别为棱ad,pb的中点,且pd=ad.求证:平面cef平面pbc.证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设a(1,0,0), 则p(0,0,1),c(0,1,0),b(1,1,0),e(,0,0),f(,),设平面cef的一个法向量为n1=(x,y,z).则n1ef=0,n1ec=0,得12y+12z=0,-12x+y=0,取x=1,则n1=(1,- ),同理,求得平面pbc的一个法向量为n2=(0, ).因为n1n2=10+-=0,所以n1n2.所以平面cef平面pbc.4.(2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中,e,f,g分别为a1b1,b1c1,c1d1的中点. (1)求证:ag平面bef;(2)试在棱bb1上找一点m,使dm平面bef,并证明你的结论.(1)证明:以d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(1,1,0),e(1,1),f(,1,1),g(0,1),ef=(-,0),bf=(-, 0,1),而ag=(-1,1),所以ag=ef+bf,故ag与平面bef共面,又因为ag不在平面bef内,所以ag平面bef.(2