（通用版）高考数学二轮复习 第一部分 专题一 平面向量、三角函数与解三角形教学案 文.doc

专题一 平面向量、三角函数与解三角形研高考明考点年份卷别小题考查大题考查2017卷t13向量的垂直、向量的坐标运算t15同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式t11利用正弦定理解三角形卷t4向量的数量积、向量的垂直t3、t13三角函数的性质t16利用正、余弦定理解三角形卷t13向量的数量积、向量的垂直t4同角三角函数的基本关系、二倍角公式t6诱导公式、三角函数的性质t15利用正弦定理解三角形2016卷t13向量的坐标运算、向量垂直的应用t6三角函数的图象与变换及性质t14同角三角函数基本关系式、诱导公式t4利用余弦定理解三角形卷t13向量共线的坐标运算公式的应用t3已知三角函数图象求解析式t11二倍角公式、诱导公式及三角函数的最值问题t15同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式及利用正弦定理解三角形卷t3向量的夹角问题t14三角函数的图象与变换t6三角恒等变换的求值问题t9解三角形、三角形面积公式2015卷t2平面向量的线性运算t17正、余弦定理及三角形面积公式t8三角函数的图象与性质卷t4平面向量的数量积运算t17正弦定理及三角形内角和定理析考情明重点小题考情分析大题考情分析常考点1.平面向量的线性运算(3年3考)2.平面向量的数量积及应用(3年6考)3.三角函数的图象与性质及应用(3年7考)4.三角恒等变换与求值(3年5考)5.利用正、余弦定理解三角形(3年6考)常考点解三角形是此部分在高考解答题中考查时的热点，题型主要有：1.三角形的基本量的求解问题2.与三角形面积有关的问题3.以平面几何为载体的解三角形问题偶考点正、余弦定理的实际应用偶考点1.三角函数的综合问题2.平面向量与解三角形、三角函数的综合问题第一讲 小题考法平面向量考点(一)主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.平面向量的线性运算典例感悟典例(1)(2017合肥质检)已知向量a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，则实数k()a4 b5 c6 d6(2)(2018届高三湘中名校联考)若点p是abc的外心，且0，acb120，则实数的值为()a. b c1 d1解析(1)a2b(3,32k)，3ab(5,9k)，由题意可得3(9k)5(32k)，解得k6.(2)设ab的中点为d，则2.因为0，所以20，所以向量，共线又p是abc的外心，所以papb，所以pdab，所以cdab.因为acb120，所以apb120，所以四边形apbc是菱形，从而2，所以20，所以1，故选c.答案(1)d(2)c方法技巧解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决演练冲关1(2017南昌调研)设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使0成立的是()aa2b babcab dab解析：选c“0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，结合各选项可知选c.2(2017福州模拟)已知abc和点m满足0.若存在实数m，使得m成立，则m()a2 b3 c4 d5解析：选b由0知，点m为abc的重心，设点d为边bc的中点，则()()，所以3，则m3，故选b.3(2017沈阳质检)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则()a3 b3 c4 d4解析：选a建立如图所示的平面直角坐标系xay，设网格中小正方形的边长为1，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1,2)(1，0)，即解得所以3.故选a.考点(二)主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值.平面向量的数量积及应用典例感悟典例(1)(2018届高三广西三市联考)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b(2ab)()a2 b1 c6 d18(2)(2017全国卷)已知abc是边长为2的等边三角形，p为平面abc内一点，则()的最小值是()a2 b c d1(3)(2018届高三湖北七市(州)联考)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|b|2，|c|1，则|abc|_.解析(1)|a|1，|b|2，a与b的夹角的余弦值为sin，ab3，则b(2ab)2abb218.(2)如图，以等边三角形abc的底边bc所在直线为x轴，以bc的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则a(0，)，b(1,0)，c(1,0)，设p(x，y)，则(x, y)， (1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，故当x0，y时，()取得最小值，为.(3)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，它们两两所成的角为120，|abc|2(abc)2a2b2c22ab2bc2ac|a|2|b|2|c|22|a|b|cos 1202|b|c|cos 1202|a|c|cos 1202222122222212211，故|abc|1.答案(1)d(2)b(3)1方法技巧解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决演练冲关1(2017云南调研)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|()a136b2c. d.解析：选d依题意得|a|，ab2cos 452，则|3ab|，故选d.2(2018届高三湖南五市十校联考)abc是边长为2的等边三角形，向量a，b满足2a，2ab，则向量a，b的夹角为()a30 b60 c120 d150解析：选c2ab2ab，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120.3(2017天津高考)在abc中，a60，ab3，ac2.若2， (r)，且4，则的值为_解析：法一：().又323，所以()2233454，解得.法二：以点a为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨假设点c在第一象限，则a(0,0)，b(3,0)，c(1，)由2，得d，由，得e(3，)，则(3，)(3)54，解得.答案：必备知能自主补缺 (一) 主干知识要记牢1平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.2平面向量的性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .(4)|ab|a|b|.(二) 二级结论要用好1三点共线的判定(1)a，b，c三点共线，共线(2)向量，中三终点a，b，c共线存在实数，使得，且1.针对练1在abcd中，点e是ad边的中点，be与ac相交于点f，若mn (m，nr)，则_.解析：如图，2，mn，m(2n1)，f，e，b三点共线，m2n11，2.答案：22中点坐标和三角形的重心坐标(1)设p1，p2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段p1p2的中点p的坐标为，.(2)三角形的重心坐标公式：设abc的三个顶点的坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，则abc的重心坐标是g.3三角形“四心”向量形式的充要条件设o为abc所在平面上一点，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，则(1)o为abc的外心|.(2)o为abc的重心0.(3)o为abc的垂心.(4)o为abc的内心abc0.(三) 易错易混要明了1要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；00(r)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0a0；但不说0与任意非零向量垂直2当ab0时，不一定得到ab，当ab时，ab0；abcb，不能得到ac，即消去律不成立；(ab)c与a(bc)不一定相等，(ab)c与c平行，而a(bc)与a平行3两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价针对练2已知向量a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_解析：依题意，当a与b的夹角为钝角时，ab21.而当a与b共线时，有21，解得2，即当2时，ab，a与b反向共线，此时a与b的夹角为，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，的取值范围是(2，)答案：(2，)课时跟踪检测 a组124提速练一、选择题1(2017沈阳质检)已知平面向量a(3,4)，b，若ab，则实数x为()a b.c.d解析：选cab，34x，解得x，故选c.2已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足c(ab)，且b(ac)，则c()a. b.c. d.解析：选a设c(x，y)，由题可得ab(3，1)，ac(1x,2y)因为c(ab)，b(ac)，所以解得故c.3已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是()a(，2) b(2，)c(，) d(，2)(2，)解析：选d由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.4(2017西安模拟)已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|()a5 b4c3 d1解析：选b因为|ab|，所以|ab|2a22abb213，即923|b|cos 120|b|213，得|b|4.5(2018届高三西安八校联考)已知点a(1,1)，b(1,2)，c(2，1)，d(3,4)，则向量在方向上的投影是()a. bc3 d3解析：选c依题意得，(2,1)，(5,5)，(2,1)(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3.6已知a，b，c三点不共线，且点o满足0，则下列结论正确的是()a bc d解析：选d0，o为abc的重心，()()()，故选d.7已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b()a. b.c.d(1,0)解析：选b设b(cos ，sin )(0，)(，2)，则ab(，1)(cos ，sin )cos sin 2sin，得，故b.8(2018届高三广东五校联考)已知向量a(，1)，b(2,1)，若|ab|ab|，则实数的值为()a1 b2c1 d2解析：选a由|ab|ab|可得a2b22aba2b22ab，所以ab0，即ab(，1)(2,1)2210，解得1.9(2017惠州调研)若o为abc所在平面内任一点，且满足()(2)0，则abc的形状为()a等腰三角形 b直角三角形c正三角形 d等腰直角三角形解析：选a()(2)0，即()0，()()0，即|，abc是等腰三角形，故选a.10(2017日照模拟)如图，在abc中，abbc4，abc30，ad是bc边上的高，则()a0 b4c8 d4解析：选b因为abbc4，abc30，ad是bc边上的高，所以ad4sin 302，所以()24cos 604，故选b.11(2017全国卷)在矩形abcd中，ab1，ad2，动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上若，则的最大值为()a3 b2c. d2解析：选a以a为坐标原点，ab，ad所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则a(0,0)，b(1,0)，c(1,2)，d(0,2)，可得直线bd的方程为2xy20，点c到直线bd的距离为，所以圆c：(x1)2(y2)2.因为p在圆c上，所以p.又(1,0)，(0,2)，(，2)，所以则2cos sin 2sin()3(其中tan 2)，当且仅当2k，kz时，取得最大值3.12如图，abc的外接圆的圆心为o，ab2，ac，bc3，则的值为()a. b.c2d3解析：选a取bc的中点为d，连接ad，od，则odbc，()，所以()()()(22)()222.故选a.二、填空题13(2017山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_解析：因为e1e2与e1e2的夹角为60，所以cos 60，解得.答案：14已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，且m，n夹角的余弦值为，若n(tmn)，则实数t的值为_解析：n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20.又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4.答案：415(2017石家庄质检)已知与的夹角为90，|2，|1， (，r)，且0，则的值为_解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则a(0,0)，b(0,2)，c(1,0)，所以(0,2)，(1,0)，(1，2)设m(x，y)，则(x，y)，所以(x，y)(1，2)x2y0，所以x2y，又，即(x，y)(0,2)(1,0)(，2)，所以x，y2，所以.答案：16(2017北京高考)已知点p在圆x2y21上，点a的坐标为(2,0)，o为原点，则的最大值为_解析：法一：由题意知，(2,0)，令p(cos ，sin )，则(cos 2，sin )，(2,0)(cos 2，sin )2cos 46，当且仅当cos 1，即0，p(1,0)时等号成立，故的最大值为6.法二：由题意知，(2,0)，令p(x，y)，1x1，则(2,0)(x2，y)2x46，当且仅当x1，p(1,0)时等号成立，故的最大值为6.答案：6b组能力小题保分练1已知abc是边长为1的等边三角形，点d，e分别是边ab，bc的中点，连接de并延长到点f，使得de2ef，则的值为()a b.c. d.解析：选b如图所示，.又d，e分别为ab，bc的中点，且de2ef，所以，所以.又，则 ()2222|2|2|cosbac.又|1，bac60，故11.故选b.2(2017长春质检)已知a，b是单位向量，且ab.若平面向量p满足papb，则|p|()a. b1 c. d2解析：选b由题意，不妨设a(1,0)，b，p(x，y)，papb，解得|p|1，故选b.3(2017浙江高考)如图，已知平面四边形abcd，abbc，abbcad2，cd3，ac与bd交于点o.记i1，i2，i3，则()ai1i2i3bi1i3i2ci3i1i2di2i1i3解析：选c如图所示，四边形abce是正方形，f为正方形的对角线的交点，易得aoaf，而afb90，aob与cod为钝角，aod与boc为锐角根据题意，i1i2()|cosaob0，i1i3，作agbd于点g，又abad，obbggdod，而oaaffcoc，|，而cosaobcoscod，即i1i3，i3i1i2.4(2018届高三湖北八校联考)如图，o为abc的外心，ab4，ac2，bac为钝角，m为bc边的中点，则的值为()a2 b12c6 d5解析：选d如图，分别取ab，ac的中点d，e，连接od，oe，可知odab，oeac，m是bc边的中点，()，().由数量积的定义可得ao |cos，而|cos，|，故|24，同理可得|21，故5，即5，故选d.5在abc中，点d在线段bc的延长线上，且3，点o在线段cd上(与点c，d不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_解析：依题意，设，其中10，0,0)的部分图象如图所示，则f的值为_解析(1)先将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin 2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得ysin 2x1的图象，故选b.(2)依题意得，t，2，则f(x)sin(2x)，其图象向左平移个单位长度得到函数f sin的图象关于y轴对称，于是有k，kz，即k，kz. 又|，因此，故选d.(3)由图象可知a2，t，t，2，当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kz)，2k(kz)，00)的图象过点，于是有fsin sin 0(0)，则k，kz，即kz，因此正数的最小值是1，故选c.3(2017陕西质检)已知函数f(x)sin(x)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)_.解析：依题意得 2，则2，即，所以f(x)sin，由于该函数图象过点2，因此sin()，即sin ，而，故，所以f(x)sin.答案：sin4.(2017兰州模拟)已知函数f(x)acos(x)(a0，0，0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，efg(点g是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)_.解析：由题意得，a，t4，.又f(x)acos(x)为奇函数，k，kz，00)的单调区间时，令xz，得yasin z(或yacos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法利用函数yasin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)yasin(x)和yacos(x)的最小正周期为，ytan的最小正周期为.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期演练冲关1(2017洛阳模拟)下列函数中，是周期函数且最小正周期为的是()aysin xcos x bysin2xcos2xcycos|x| dy3sincos解析：选b对于a，函数ysin xcos xsinx的最小正周期是2，不符合题意；对于b，函数ysin2xcos2x1cos 2x(1cos 2x)cos 2x的最小正周期是，符合题意；对于c，ycos|x|cos x的最小正周期是2，不符合题意；对于d，函数y3sincossin x的最小正周期是2，不符合题意故选b.2(2017长春质检)关于函数y2sin3x1，下列叙述有误的是()a其图象关于直线x对称b其图象可由y2sin1图象上所有点的横坐标变为原来的得到c其图象关于点对称d其值域是1,3解析：选c由3xk(kz)解得x，kz，取k1，得函数y2sin3x1的一个对称轴为x，故a正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的，就是把x的系数扩大3倍，故b正确；由3xk(kz)解得x，kz，取k3，得x，此时y1，所以函数y2sin1的对称中心为，故c错误；由于1sin3x1，所以函数y2sin1的值域为1,3，故d正确3(2018届高三湘中名校联考)已知函数f(x)sinx，0，xr，且f()，f().若|的最小值为，则函数的单调递增区间为_解析：由f()，f()，|的最小值为，知，即t3，所以，所以f(x)sin.由2kx2k(kz)，得3kx3k，即函数f(x)的单调递增区间为3k，3k，kz.答案：3k，3k，kz考点(三)主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数的值域或最值求参数.三角函数的值域与最值问题典例感悟典例(1)(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cosx的最大值为()a4 b5 c6 d7(2)函数f(x)sin在上的值域为_解析(1)f(x)cos 2x6cosxcos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.(2)x，2x，当2x，即x时，f(x)max1.当2x，即x时，f(x)min，f(x).答案(1)b(2)方法技巧求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法三角函数类型求值域(最值)方法yasin xbcos xc先化为yasin(x)k的形式，再求值域(最值)yasin2xbsin xc可先设sin xt，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)yasin xcos xb(sin xcos x)c可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)y一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题，利用数形结合求解演练冲关1当x时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析：y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22.x，sin x.当sin x时，ymin，当sin x或sin x1时，ymax2.答案：22设x，则函数y的最大值为_解析：因为x，所以tan x0，所以函数y，当且仅当3tan x时等号成立，故函数的最大值为.答案：3(2017南宁模拟)已知函数f(x)cos3x，其中x，若f(x)的值域是，则m的取值范围是_解析：由x，可知3x3m，fcos，且fcos 1，要使f(x)的值域是，需要3m，即m.答案：必备知能自主补缺 (一) 主干知识要记牢1三角函数的图象及常用性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在2k，2k(kz)上单调递增；在2k，2k(kz)上单调递减在2k，2k(kz)上单调递增；在2k，2k(kz)上单调递减在k，k(kz)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kz)；对称轴：xk(kz)对称中心：k，0(kz)；对称轴：xk(kz)对称中心：(kz)2三角函数的两种常见的图象变换(1)ysin xysin(x) ysin(x) yasin(x)(a0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yasin(x)(a0，0)(二) 二级结论要用好1sin cos 0的终边在直线yx上方(特殊地，当在第二象限时有 sin cos 1)2sin cos 0的终边在直线yx上方(特殊地，当在第一象限时有sin cos 1)(三) 易错易混要明了求yasin(x)的单调区间时，要注意，a的符号0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k时，不要忘掉kz，所求区间一般为闭区间如求函数f(x)2sin的单调减区间，应将函数化为f(x)2sin，转化为求函数ysinx的单调增区间课时跟踪检测 a组124提速练一、选择题1(2017宝鸡质检)函数f(x)tan的单调递增区间是()a.(kz)b.(kz)c.(kz)d.(kz)解析：选b由k2xk(kz)得，x0，|的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()af(x)sin bf(x)sincf(x)sin df(x)sin解析：选a由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为t4，所以2，即f(x)sin(2x)又函数f(x)的图象经过点，所以sin1，则2k(kz)，解得2k(kz)，又|0，|2，所以01，.又|，将代入得.选项a符合法二：f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为43，f(x)2sin.由2sin2，得2k，kz.又|，取k0，得.故选a.4(2017湖北荆州质检)函数f(x)2xtan x在上的图象大致为()解析：选c因为函数f(x)2xtan x为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项a，b，又当x时，y0)个单位长度后所得的图象关于直线x对称，则m的最小值为()a. b. c. d.解析：选b平移后所得的函数图象对应的解析式是ysin 2，因为该函数的图象关于直线x对称，所以2k(kz)，所以m(kz)，又m0，故当k0时，m最小，此时m.6(2017云南检测)函数f(x)sin(x)0，|的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为()a(14k，14k)，kzb(38k，18k)，kzc(14k,14k)，kzd(38k,18k)，kz解析：选d由题图，知函数f(x)的最小正周期为t4(31)8，所以，所以f(x)sinx.把(1,1)代入，得sin1，即2k(kz)，又|，所以，所以f(x)sinx.由2kx2k(kz)，得8k3x8k1(kz)，所以函数f(x)的单调递增区间为(8k3,8k1)(kz)，故选d.7(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()a.b1c. d.解析：选a因为coscossin，所以f(x)sin，于是f(x)的最大值为.8(2017武昌调研)若f(x)cos 2xacosx在区间上是增函数，则实数a的取值范围为()a2，) b(2，)c(，4) d(，4解析：选df(x)12sin2xasin x，令sin xt，t，则g(t)2t2at1，t，因为f(x)在上单调递增，所以1，即a4，故选d.9已知函数f(x)sin(2x)(0)，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则()a. b. c. d.解析：选d函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为ysin2xsin，由于该函数是偶函数，k(kz)，即k(kz)，又00)满足f()2，f()0，且|的最小值为，则函数f(x)的解析式为()af(x)2sinbf(x)2sincf(x)2sindf(x)2sin解析：选af(x)sin xcos x2sinx.因为f()2，f()0，且|min，所以，得t2(t为函数f(x)的最小正周期)，故1，所以f(x)2sin，故选a.11(2018届高三广西三市联考)已知x是函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(