高考总动员高考数学大一轮复习 第5章 数列学案 文 新人教版.doc

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法基础知识深耕一、数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an叫做数列的通项通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表达，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，sna1a2an叫做数列的前n项和二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nn*递减数列an1an常数列an1an【方法技巧】判断数列递增(减)的方法(1)作差比较法：若an1an0，则数列an为递增数列若an1an0，则数列an为常数列若an1an0，则数列an为递减数列(2)作商比较法：不妨设an0.若1，则数列an为递增数列若1，则数列an为常数列若1，则数列an为递减数列三、数列的表示方法1表示方法列表法列表格表达n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表达数列的方法2.数列的函数特征上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2，n)的函数anf(n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值四、an与sn的关系若数列an的前n项和为sn，通项公式为an，则an【方法技巧】已知sn求an的注意点利用ansnsn1求通项时，注意n2这一前提条件，易忽略验证n1致误，当n1时，a1若适合通项，则n1的情况应并入n2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示基础能力提升1下列说法中正确的是()a数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7b数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列c数列0,2,4,6,8，可记为2n(nn)d数列的第k项为1【解析】a选项不符合数列记法，错误；相同数的排列次序不同，不是相同数列，b错；数列2nnn的首项是2，不是0，故c错；d正确【答案】d2数列2,4,6,8,10，的递推公式是()aanan12(n2)ban2an1(n2)ca12，anan12(n2)da12，an2an1(n2)【解析】由条件可发现，n2时，anan12，即anan12，又a12，所以c正确【答案】c3下列解析式中不是数列1，1,1，1,1，的通项公式的是()aan(1)nban(1)n1can(1)n1dan【解析】对于a中，a11，不合题意，b、c、d选项均符合要求【答案】a4已知数列an，sn为an的前n项和，且sn2n2n，则an_.【解析】当n2时，ansnsn12n2n2(n1)2(n1)4n3；当n1时，s1a11满足上式【答案】4n31两个易错点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2两种关系(1)数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性(2)an3三种方法由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)an1anf(n)型，采用叠加法(2)f(n)型，采用叠乘法(3)an1panq(p0，p1)型，转化为等比数列解决第二节等差数列及其前n项和基础知识深耕一、等差数列1定义：an1and(常数)(nn*)2通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.3前n项和公式：snna1.4a、b的等差中项a.【方法技巧】证明an为等差数列的方法：(1)用定义证明：anan1d(d为常数，n2)an为等差数列；(2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数an为等差数列；(4)前n项和法：snan2bn或sn.二、等差数列的性质已知数列an是等差数列，sn是其前n项和(1)若m、n、p、q、k是正整数，且mnpq2k，则amanapaq2ak.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(3)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列【拓展延伸】等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则s2nn(a1a2n)n(anan1)s2n1(2n1)an.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质()若等差数列an的项数为2n，则s2nn(a1a2n)n(anan1)，s偶s奇nd，()若等差数列an的项数为2n1，则s偶(n1)an，s奇nan，s奇s偶an，；(其中s奇，s偶分别表示数列an中所有奇数项、偶数项的和)两个等差数列an，bn的前n项和sn，tn之间的关系为；基础能力提升1下列说法正确的是()a一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列b等差数列的增减性是由公差d决定的c如果a、b、c成等差数列，那么c叫做a与b的等差中项d若a、b、c成等差数列，则a2、b2、c2也成等差数列【解析】a中应为“同一个常数”，错误；c中b叫等差中项，错误；可以举反例验证d错误【答案】b2等差数列an中，a4a512，那么它的前8项和s8等于()a12 b24 c50 d48【解析】a4a52a17da1(a17d)a1a812，s848.【答案】d3等差数列an中，a5a616，a812，则a3()a4b4 c2d2【解析】由a8a3a5a6得，a316124【答案】a4等差数列an的前n项和为sn，且s33，s67，则s9等于_【解析】s3，s6s3，s9s6成等差数列，2(s6s3)s3(s9s6)，即83s97，s912.【答案】121两个技巧利用等差数列的性质妙设元：(1)若奇数个数成等差数列且和为定值，可设为a2d，ad，a，ad，a2d，(2)若偶数个数成等差数列且和为定值，可设为a3d，ad，ad，a3d，2两种思想(1)等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(2)等差数列an中，ananb(a，b为常数)，snan2bn(a，b为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程3两个易误点(1)要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别第三节等比数列及其前n项和基础知识深耕一、等比数列及其相关概念等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数公比等比数列定义中的同一常数叫做等比数列的公比，常用字母q(q0)表示公式表示an为等比数列q(nn*，q为非零常数)等比中项如果a，g，b成等比数列，则g叫做a，b的等比中项，此时g【方法技巧】证明an是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若q(q为非零常数，n2且nn*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aanan2(nn*)，则数列an是等比数列二、等比数列的通项公式与前n项和公式1等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1.2等比数列的前n项和公式(1)当公比q1时，snna1(q1)(2)当公比q1时，sn(q1)三、等比数列的性质1对任意的正整数m、n、p、q，若mnpq2k，则amanapaqa.2通项公式的推广：anamqnm(m，nn*)3公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为1时，sn，s2nsn，s3ns2n不一定构成等比数列4若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍是等比数列【拓展延伸】等比数列的单调性单调递增a10，q1或者a10,0q1单调递减a10,0q1或者a10，q1常数数列a10，q1摆动数列q0基础能力提升1下面四个结论：由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列常数列b，b一定是等比数列；等比数列an中，若公比q1，则此数列各项相等；等比数列中，各项与公比都不能为零其中正确的结论的个数是()a0b1c2d3【解析】错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；错误，b0时不是等比数列；正确【答案】c2在等比数列an中，a14，公比q3，则通项公式an()a3nb4n c34n1d43n1【解析】ana1qn143n1.【答案】d3等比数列an中，a44，则a2a6等于()a4b8 c16d32【解析】an是等比数列，a2a6a4216.【答案】c4在等比数列an中，s22，s48，则s6()a32b18 c24d26【解析】an为等比数列，s2，s4s2，s6s4成等比数列，2(s68)(82)2，s626.【答案】d1两个防范(1)由an1qan(q0)，并不能立即断言an是等比数列，还要验证a10.(2)运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止忽略q1这一特殊情形2两种思想求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，snna1；当q1时，sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论第四节数列求和基础知识深耕一、公式法与分组求和法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：sn2分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和【方法技巧】常用的拆项方法(1)(2)()(3)(4)四、倒序相加法和并项求和法1倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的2并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.基础能力提升1在等比数列an中，a12，前n项和为sn.若数列an1也是等比数列，则sn等于()a2n12b3nc2nd3n1【解析】an2qn1，an12qn11.an1是等比数列，应为常数当q1时符合题意，sn2n.当q1时，不为常数，an1不是等比数列【答案】c2已知数列an是每一项及公差都不为零的等差数列，设sn，则sn()a.bc. d.【解析】an为等差数列，sn.【答案】a3已知数列an的前n项和sn24681012(1)n12n，则s20()a10b10 c20d20【解析】s202468384021020.【答案】d4已知an3n2，bn4n1，则数列anbn的前n项和为sn_.【解析】sn144742(3n2)4n14sn4442743(3n2)4n；得：3s1(3n2)4n13(3n2)4n14n4(3n2)4n33(n1)4n，sn1(n1)4n，(nn*)【答案】1(n1)4n(nn*)1两种思路解决非等差、等比数列求和问题的两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和2三个注意点应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题(1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差(2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分q1和q1两种情况求解第五节数列的综合应用基础知识深耕一、等比数列与等差数列的比较不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值二、数列应用题常见模型及解题步骤1数列应用题常见模型(1)等差数列：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1之间的递推关系，还是sn与sn1之间的递推关系2解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到实际问题中基础能力提升1若a，b，c成等比数列，其中0abc，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn组成的数列是()a等比数列b等差数列c每项的倒数成等差数列d第二项与第三项分别是第一项与第二项的n次幂【解析】a