几何画板在中考动态问题教学中运用的探究2016中考研讨会.docx

化静为动，动中求定几何画板在中考动态问题教学中运用的探究 青山湖教研室 范云波引言：著名数学家、数学教育家波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学.”几何画板提供了一个十分理想的展现数学发现过程并让学生积极探索问题的“做数学”的环境。现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。几何画板是信息技术与数学教学整合的主要工具之一，其快捷精准的绘图、智能的几何变换、直观的动态演示等功能，为学生创造了一个探索几何图形内在关系的环境，让学生在观察、探索、发现的过程中深化对各种图形的感性认识，形成丰富的几何认知经验，促进对数学问题的深入理解和思考。几何画板为学生探索知识增添了更多的途径，同时也为教师研究教学开辟了更广的空间。在初中数学课堂教学中如何充分发挥几何画板的功能优势，优化课堂教学，成为当前新课程改革中值得探索的一个问题。几何画板在辅助数学教学方面的独特优势开创了教与学的新方式，有助于教师成为学生学习的引导者，有助于学生成为主动获取知识的探索者。本文结合教学案例，从数形结合、实验探究、辅助变式、原创欣赏四个方面来探讨几何画板在初中数学教学中的实践运用，旨在为广大数学教师后期中考复习及今后的数学教学中提供一些借鉴或启示。 一、揭示数形关系，优化思维品质 数（数量关系）与形（空间形式）是数学教学中的两大基本内容。数形结合思想贯穿于整个中学数学教材体系之中，它是重要的数学思想方法之一。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，也就是说数与形之间相辅相成：以形助数，可以化抽象为直观；以数辅形，可以化直观为精确。在传统的数学教学中，因受教学条件的限制，数与形很难真正地完美结合，特别是有些蕴藏在数量关系背后的几何意义很难直观地展现出来。而几何画板凭借其强大的功能优势弥补了这一不足，能化隐为显，化静为动，直观地反映数、形的同步变化，为学生提供一个探索和构建数学模型的平台，从而帮助学生优化思维品质，简化解题过程，提高学习效率。例题1(2015江西省T6)已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）过（-2，0）,（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A.只能是x=1 B.可能是y轴 C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧解析：抛物线y=ax2+bx+c（a0）过（2，0），（2，3）两点，点（2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：2x22，20，抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=2的右侧故选D通通过几何画板演示不难发现例题1是一个错题（见上图），上述解析也是错误的，D选项不正确，应将D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧改为在y轴左侧。数形结合思想是使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决，最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来,这种思想是近年来中考的热点之一.教学策略: “由数思形，由形探数” “以形助数，用数解形”, 例题2（2015江西T14）如图，在ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，AOC=60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2对于例题2学生能答到三解的不多。老师在讲解这题时，如果能运用几何画板进行分类讨论教学就能有效突破重难点。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏此类题有助于培养学生思维的完备性, 增强学生思维的深刻性。解题策略：“合理分类，分级讨论”“标准统一，不漏不重” 画板将数、形之间的关系动态地展示出来，活跃了学生的思维活动，使抽象的数学知识变得生动形象，容易接受。二、探究数学实验，把握问题本质学习和研究数学不仅需要演绎、推理，也需要实验、归纳。数学实验作为一种新颖的数学研究方法，已成为中学数学学习的一种新形式。广义的数学实验是指在特定的实验条件下，实验者为了解决某个未知问题，验证某个数学猜想，获取某个数学结论，运用一定的技术手段或工具，并以数学理论和数学思想为指导，将实验对象进行数学化的处理，从而解释数学现象、理解数学内容或构建数学知识的一类数学研究活动。进行数学教学时，既要关注数学内容抽象化、形式化的一面，还要关注数学发现过程中经验化、具体化的一面，为此可以利用几何画板进行数学实验，辅助学生把握数学问题的结构特点，认清数学本质。ABPCD例题3.（2010重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动设点P所走过的路程为x，则线段AP、AD与矩形围成的图形面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）OOOOyyyyxxxx7333737712121212ABCD利用几何画板工具把静态的知识动态化，抽象的知识具体化，改变了教师一贯的解决例题教学方法，让学生亲身体验，自主探索，在学中做，在做中学，激发学生的创新思维，同时培养学生主动探索研究、动手操作实践的能力，培养学生创新精神和创造能力， 提升了思维活动的层次，培养了数学学习的基本素质.触类旁通，学习方法的迁移也将有助于其它内容的学习，从而整体地提高学生的学习能力解题策略：“关注全程,落足临界” , “化动为静,以静制动” 例题4.(09年天水中考)在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足分别为E、F，如图(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图，请分别直接写出结论；(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明解：（1）如图时，BE=DF+EF；如图时，BE=DFEF；如图时，BE=EFDF（2）证明：如图，AEB=DFA=90，1=2=903，AB=DAABEDAF，BE=AF，AE=DFAF=AE+EF，BE=DF+EF如图、图时，同理可证ABEDAF，BE=AF，AE=DF只是AF=AEEF或AF=EFAE例题5.（2015江西T24）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c特例探索（1）如图1，当ABE=45，c=2时，a=2，b=2如图2，当ABE=30，c=4时，a=2，b=2归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式拓展应用（3）如图4，在ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BEEG，AD=2，AB=3，求AF的长 规律开放探索问题是指根据已知条件或所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征，得到一般性结论的一类探索性问题.考查的问题一般包括数学命题、式子、图形等，探究的结果一般要求能运用代数式、方程、函数等进行描述. 此类题有助于培养学生的能力观察类比归纳总结能力, 提升学生从特殊到一般思想应用的意识解题策略：“特例入手,类比一般” 几何画板为学生进行数学实验创造了良好的条件，利用其实时度量功能，能快速地为学生提供精准的度量数据，这有利于学生发现问题背后所隐藏的规律。在例题4教学时，可以先用“几何画板”课件进行演示，通过点击不同的按钮来改变线段的长度，看BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系，然后引导学生归纳出隐藏在现象背后的规律。这些实验操作让学生体验了由特殊到一般、由一般到特殊的数学研究过程。几何画板所呈现的丰富的动态图形，极大地开阔了学生的视野，给学生提供了更多“发现”的机会。三、辅助变式教学，提升课堂效率变式教学是促进数学学习的一种有效的教学方式，长期以来被数学教师广泛地用于教学之中。在现代信息技术不断发展的背景下，重新审视数学变式教学，对培养学生的创新思维能力有着深远的意义。几何画板所具有的图形动画处理、几何变换、自动推理、符号计算等功能，为数学变式教学创造了一个简易、快捷的智能操作平台。在数学变式教学中，利用几何画板从不同层次、不同角度、不同途径、不同背景这四方面变更数学对象的内容或形式，引导学生从变化的现象中抓住不变的本质，从不变的本质中探索变化的规律，让学生经历数学知识的发生、发展及形成的过程，强化对知识结构的认识，增加思维活动的经验，提高分析问题和解决问题的技能。例题6(江西省2015T6变式).已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点x1、x2 且-2x10, 2x23点，抛物线的对称轴与x轴交点的坐标为（x，0）则（ ）.A. -2x0 B. 2x3 C. 0x1.5 D. 0x2通过给学生一些变式训练有助于培养学生分析问能力题和解决问题的能力, 提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力, 训练学生揭示各方面知识内在联系和规律, 加深知识的理解和应用并使知识融会贯通解题策略：“一题多解,一题多改”“一题多变,一题多问” 例题7（2015江西T14变式）如图，在ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，AOC=60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为这题是一个结论开放探索问题。（题目中的结论不确定或题目中的结论需类比、引申、拓广，或改变题目的条件，探究原有的结论是否成立，或题目给出特例，要求探究归纳总结出一般性的结论，常与化归思想方法结合应用）这类题有助于培养学生综合分析问题和解决问题的能力, 提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力, 充分提升学生类比思想与转化化归的思想教学策略: “执因索果,顺藤摸瓜” 例题8.如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（ ）例题（原创）如图-1，在RtABC中，C=90, B=30,AC=1,CDAB，垂足为D,现将ACD绕D点顺时针旋转得到ACD, 旋转时间为t秒,ACD绕D点旋转的角速度/秒. （1）旋转时间t= 秒时，ACAB;（2）ACD绕D点顺时针旋转一周（3600），斜边AC扫过的面积为 （3）如图-2，连接AC、 CB若6t9，求证：为定值；当t9时，上述结论还成立吗？如成立直接写出比值，不成立请说明理由。（第23题图-1） （第23题图-2）在初中阶段存在一些典型的几何变换问题，由于传统的变式教学无法直观、形象地演示图形的变化过程，使得学生的认知不能深入到问题的内部本质，此时可借助几何画板的几何变换、动画等功能，将几何图形因条件改变而变化的过程从不同角度呈现出来。尽管图形的部分条件发生变化，但解题思路依然没变，其中一个直角三角形是由另一个直角三角形经过旋转而得到。利用几何画板的复制和动态模拟功能，可以从复杂图形中分离出基本模型，并使其与原图形保持同步变化，这样有助于学生认识图形，学会从基本模型入手寻找解题的突破口，从而收到触类旁通、举一反三的效果。数学教学中合理地整合几何画板，能让学生真正参与问题的解决过程，体验知识的形成过程，构建清晰的认知结构，深刻地理解和掌握数学知识。几何画板丰富了教学的手段，给数学教学注入了新的活力，使得在传统的笔纸环境中无法开展的数学探究活动能真正开展起来，更重要的是它使抽象、枯燥的数学变得直观、形象，激发了学生的学习兴趣，有助于学生从传统的被动式学习向主动式学习转换。但值得注意的是，教学