辽宁省沈阳市铁路实验中学高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1已知全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=2，3，5，集合b=1，3，4，6，则集合aub=（）a3b2，5c1，4，6d2，3，52若复数z=的共轭复数是=a+bi（a，br），其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）a（1.2）b（2，1）c（1，2）d（2，1）3a、br，“ab”是“a2+b22ab”成立的（）a充要条件b充分非必要条件c必要非充分条件d非充分非必要条件4函数f（x）=x32的零点所在的区间是（）a（2，0）b（0，1）c（1，2）d（2，3）5将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ax=bx=cx=dx=6执行如图所示的程序框图，输出的s为（）abcd7已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）a12b11c8d18已知an是等比数列，其中a1，a8是关于x的方程x22xsinsin=0的两根，且（a1+a8）2=2a3a6+6，则锐角的值为（）abcd9将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图所示，则原工件材料的利用率为材料的利用率=（）abcd10若函数f（x）=的最小值是2，则实数c的取值范围是（）ac1bc1cc0dcr11若函数f（x）=2x33mx2+6x在区间（2，+）上为增函数，则实数m的取值范围是（）a（，2）b（，2c（，）d（，12设f（x）是定义在r上的偶函数，对xr，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）a（1，2）b（2，+）c（1，）d（，2）二、填空题13已知、是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线a、b，a，b，a，b其中是平面平面的充分条件的为（填上所有符合要求的序号）14具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：x0123y11m8若y与x的回归直线方程为=3x，则m的值是15已知函数f（x）=x4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为16已知函数f（x）=，若f（4）1，则实数a的取值范围是三、解答题17在abc中，（）求角a的大小；（）若a=3，sinb=2sinc，求sabc18已知数列an的首项al=1，an+1=（nn*）（i）证明：数列是等比数列；（）设bn=，求数列bn的前n项和sn19在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，设e是棱cc1的中点（1）求证：bdae；（2）求证：ac平面b1de；（3）求三棱锥ab1de的体积20某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：支持反对总计男生30女生25总计（i）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（皿）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因求其中恰有一人支持一人反对的概率参考公式及临界表：k2=p（k2k0）0.100.0500.0100.0050.001k02.706%3.8416.6357.87910.82821已知f（x）=ax+xlnx（ar）（）曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；（）若f（x）x2在（1，+）恒成立，求a的取值范围【选修4一1：几何证明选讲】22如图，已知圆的两条弦ab，cd，延长ab，cd交于圆外一点e，过e作ad的平行线交cb的延长线于f，过点f作圆的切线fg，g为切点求证：（i）efcbfe；（）fg=fe【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c：（为参数），以平面直角坐标系xoy的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（cossin）=6（i）在曲线c上求一点p，使点p到直线l的距离最大，并求出此最大值；（）过点m（1，0）且与直线l平行的直线l1交c于a，b两点，求点m到a，b两点的距离之积【选修4-5：不等式选讲】24设f（x）=|x+2|+|2x1|m（i）当m=5时，解不等式f（x）0；（）若f（x）对于xr恒成立，求m的取值范围2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1已知全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=2，3，5，集合b=1，3，4，6，则集合aub=（）a3b2，5c1，4，6d2，3，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出集合b的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集u=1，2，3，4，5，6，集合b=1，3，4，6，ub=2，5，又集合a=2，3，5，则集合aub=2，5故选：b【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查2若复数z=的共轭复数是=a+bi（a，br），其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）a（1.2）b（2，1）c（1，2）d（2，1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=2i， =2+i，点（a，b）为（2，1）故选：b【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力3a、br，“ab”是“a2+b22ab”成立的（）a充要条件b充分非必要条件c必要非充分条件d非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】规律型【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：a2+b22ab=（ab）2，若ab，则a2+b22ab=（ab）20，即a2+b22ab成立若a2+b22ab，则a2+b22ab=（ab）20，ab，“ab”是“a2+b22ab”成立的充要条件故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础4函数f（x）=x32的零点所在的区间是（）a（2，0）b（0，1）c（1，2）d（2，3）【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】据要求函数的零点，使得函数等于0，解出自变量x的值，在四个选项中找出零点所在的区间，得到结果【解答】解：要求y=x32的零点，只要使得x32=0，x=，（1，2）函数的零点位于（1，2）故选：c【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是使得函数等于0，解出结果，因为所给的函数比较简单，能够直接做出结果5将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ax=bx=cx=dx=【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】根据本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程【解答】解：将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin2（x+）=sin（2x+）令2x+=k+，kz，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：a【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6执行如图所示的程序框图，输出的s为（）abcd【考点】程序框图【专题】转化思想；试验法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出k=2016时循环终止，求出此时输出的结果即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得：当k=2015时，满足循环条件，还应进入循环，当k=2016时，不满足循环条件，推出循环体；故输出结果为+=（1）+（）+（）+（）=故选：a【点评】不同考查了程序语言的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是基础题目7已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）a12b11c8d1【考点】简单线性规划【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=2时，z=3x+y取得最小值为8【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（2，2），b（，），c（3，2）设z=f（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点a（2，2）时，目标函数z达到最小值z最小值=f（2，2）=8故选：c【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题8已知an是等比数列，其中a1，a8是关于x的方程x22xsinsin=0的两根，且（a1+a8）2=2a3a6+6，则锐角的值为（）abcd【考点】等比数列的性质；函数的零点；等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列；三角函数的求值【分析】由已知条件运用韦达定理推导出a1+a8=2sin，a1a8=a3a6=sin，由（a1+a8）2=2a3a6+6，得4sin2=62sin，由此能求出锐角的值【解答】解：an是等比数列，a1和a8是关于x的方程x22xsinsin=0的两根，a1+a8=2sin，a1a8=a3a6=sin，（a1+a8）2=2a3a6+6，4sin2=62sin，解得sin=，锐角的值为故选c【点评】本题考查等比数列的性质和运用，考查三角函数的求值，注意特殊角的三角函数值，属于中档题9将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图所示，则原工件材料的利用率为材料的利用率=（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】设正方体的棱长为1，根据切削部分为三棱锥，求出剩余部分的体积，可得答案【解答】解：如图，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥aa1b1d1，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选c【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10若函数f（x）=的最小值是2，则实数c的取值范围是（）ac1bc1cc0dcr【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】化简f（x）=+，从而利用基本不等式可得1c0，从而解得【解答】解：f（x）=+，f（x）2，（当且仅当=，即x2=1c有解时，等号成立），故1c0，解得，c1；故选：a【点评】本题考查了基本不等式的应用及函数的最值的求法11若函数f（x）=2x33mx2+6x在区间（2，+）上为增函数，则实数m的取值范围是（）a（，2）b（，2c（，）d（，【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】先求f（x）=6x26mx+6，根据题意可知f（x）0在（2，+）上恒成立，可设g（x）=6x26mx+6，所以讨论的取值，从而判断g（x）0是否在（2，+）上恒成立：0时，容易求出2m2，显然满足g（x）0；0时，m需要满足，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可【解答】解：f（x）=6x26mx+6；由已知条件知x（2，+）时，f（x）0恒成立；设g（x）=6x26mx+6，则g（x）0在（2，+）上恒成立；（1）若=36（m24）0，即2m2，满足g（x）0在（2，+）上恒成立；（2）若=36（m24）0，即m2，或m2，则需：；解得；综上得；实数m的取值范围是（，故选d【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系12设f（x）是定义在r上的偶函数，对xr，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）a（1，2）b（2，+）c（1，）d（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】作图题；函数的性质及应用【分析】作出在区间（2，6内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数【解答】解：f（x）是定义在r上的偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，对xr，都有f（x2）=f（x+2），f（x）是周期函数，且周期为4；当x2，0时，f（x）=（）x1，其在区间（2，6内的图象如右图，在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=loga（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则loga（2+2）3，且loga（6+2）3解得，a（，2）故选d【点评】本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题二、填空题13已知、是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线a、b，a，b，a，b其中是平面平面的充分条件的为（填上所有符合要求的序号）【考点】平面与平面平行的判定【专题】证明题【分析】利用空间直线与平面平行、垂直的判定与性质和平面与平面平行的判定与性质，对各个选项分别加以推理论证，则不难得到本题的正确答案【解答】解：对于，根据直线与平面垂直的性质可知，当直线a且a，必有平面、互相平行时，故正确；对于，以长方体的一个角为例，可知且时，也可能、相交，不一定有，故不正确；对于，当、相交，交线l既与a平行，又与b平行时，存在两条平行直线a、b，a，b，a，b，因此，不正确；对于，存在两条异面直线a、b，a，b，a，b可将内的直线平移到内的直线c，则有相交直线b、c都与平面平行，根据面面平行的判定定理，可得正确故答案为：【点评】本题以充分条件的判断为载体，寻找使两个平面平行的充分条件，着重考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的判定与性质等知识点，属于基础题14具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：x0123y11m8若y与x的回归直线方程为=3x，则m的值是4【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案【解答】解：由题意， =1.5， =，样本中心点是坐标为（1.5，），回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x，=31.51.5，m=4故答案为：4【点评】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点15已知函数f（x）=x4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为3x+y4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题【解答】解：函数f（x）=x4lnx，所以函数f（x）=1，切线的斜率为：3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y4=0故答案为：3x+y4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导16已知函数f（x）=，若f（4）1，则实数a的取值范围是【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论【解答】解：由分段函数的表达式可知，f（4）=f（）=f（2）=2（3a1）+4a=22a，若f（4）1，则22a1，即2a1，解得，故答案为：【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行求解和化简是解决本题的关键三、解答题17在abc中，（）求角a的大小；（）若a=3，sinb=2sinc，求sabc【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理【专题】综合题【分析】（i）利用条件，结合二倍角公式，即可求得角a的大小；（ii）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的边，从而可求三角形的面积【解答】解：（i）由已知得：，0a，（ii）由可得：b=2c【点评】本题考查二倍角公式的运用，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题18已知数列an的首项al=1，an+1=（nn*）（i）证明：数列是等比数列；（）设bn=，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】（）an+1=（nn*），两边取倒数可得： =，变形为=，利用等差数列的通项公式即可得出（）（）知=，即=，bn=，再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（）证明：an+1=（nn*），=，变形为=，又a1=1，=，所以数列是以为首项，为公比的等比数列（）解：由（）知=，即=，bn=设tn=+，则=+，由得， =+=1tn=2又=数列bn的前n项和sn=2+【点评】本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，设e是棱cc1的中点（1）求证：bdae；（2）求证：ac平面b1de；（3）求三棱锥ab1de的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）通过证明bd平面aec，得出bdae；（2）通过acc1的中位线证明线线平行，再证明线面平行；（3）点a到平面b1de的距离等于点c到平面b1de的距离，利用等积法求出三棱锥ab1de的体积【解答】解：（1）证明：连接bd，ae，四边形abcd是正方形，bdac，又ec底面abcd，bd面abcd，ecbd，且ecac=c，bd平面aec，又ae平面aec，bdae；（2）证明：连接ac1，设ac1b1d=g，则g为ac1的中点，e为c1c的中点，ge为acc1的中位线，acge，ge平面b1de，ac平面b1de，ac平面b1de；（3）由（2）知，点a到平面b1de的距离等于点c到平面b1de的距离，三棱锥ab1de的体积是=dc=（12）2=，三棱锥ab1de的体积为【点评】本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，是综合性题目20某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：支持反对总计男生30女生25总计（i）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（皿）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因求其中恰有一人支持一人反对的概率参考公式及临界表：k2=p（k2k0）0.100.0500.0100.0050.001k02.706%3.8416.6357.87910.828【考点】独立性检验【专题】计算题；概率与统计【分析】（）利用所给数据，可以完成列联表；求出k0，与临界值比较，即可得出能否有99.9%的把握认为态度与性别有关；（）确定基本事件的个数，根据概率公式，可得结论【解答】解：（）列联表如下：支持反对总计男生305080女生452570总计7575150计算得k2=10.71410.828，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关（）随机抽取一男一女所有可能的情况有24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有22+4212种，所以概率为p=【点评】本题考查概率知识的运用，考查独立性检验知识，确定基本事件是关键21已知f（x）=ax+xlnx（ar）（）曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；（）若f（x）x2在（1，+）恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得a=1，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（）由题意：ax+xlnxx2，即axlnx，由x1，可得axlnx恒成立令g（x）=xlnx，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到a的范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），求导可得f（x）=a+1+lnx，由f（1）=0得a+1=0，解得a=1，即f（x）=x+xlnx，f（x）=lnx，令f（x）0得x1；令f（x）0得0x1，所以f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）（）由题意：ax+xlnxx2，即axlnx，x1，axlnx恒成立令g（x）=xlnx，则g（x）=1=，g（x）在1，+）上单调递增，又g（1）=1，当x（1，+）时，g（x）1，当a1时，ag（x）恒成立，a的取值范围为（，1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题【选修4一1：几何证明选讲】22如图，已知圆的两条弦ab，cd，延长ab，cd交于圆外一点e，过e作ad的平行线交cb的延长线于f，过点f作圆的切线fg，g为切点求证：（i）efcbfe；（）fg=fe【考点】相似三角形的判定【专题】推理和证明【分析】（）由直线平行的性质得feb=a，由圆周角定理得a=c，由此能证明efcbfe（）由三角形相似的性质得ef2=fbfc，由切割线定理得fg2=fbfc，由此能证明fg=fe【解答】证明：（）efad，feb=a，又a=c，c=feb，在efc与bfe中，efcbfe（）efcbfe，ef2=fbfc，又fg是圆的切线，由切割线定理得fg2=fbfc，ef2=fg2，fg=fe【点评】本题考查三角形相似的证明，考查线段相等的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意圆周角定理和切割线定理的合理运用【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c：（为参数），以平面直角坐标系xoy的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（c