反向思考的几种数学方法.pdf

命 命命命命命命命 命命命命命命 命命题题题题题题题题题 题题题题题 题题与与与与与与与与与 与与与与与 与与解解解解解解解解解 解解解解解 解解题题题题题题题题题 题题题题题 题题 反反反 向向向 思思思 考考考 的的的 几几几 种种种 数数数 学学学 方方方 法法法 崔 金 兴 山东省安丘市北关中学 本文收稿日期 对立统一规律是辩证唯物主义的根本规 律 反向思考就是从对立中认识事物的一种 思维方式 在数学竞赛中 反向思考的重要性尤为 突出 反证法 分析法都是重要的基本方法 另外 倒放法 倒推法 淘汰法也均来源于反 向思考 有时起着不可替代的作用 倒放法 将问题中式子的顺序 倒 过来放置 例 设 证明 不能被 整除 证明 设 则 当 时 能被 整除 即能被 整除 故当 时 被 除的余数为 即 不能被 整除 又 不能被 整除 结论成立 例 设 为正实数 试 证 对每一个自然数 有 全国高中数学联赛 证明 由 得 又 故 即 设 则 0 即 倒推 将问题发生的顺序倒过来进行推理 逐 步还原 例 设有 个球 甲乙二人做轮流取 球游戏 每人一次 可随意取 个或 个 但 不准不拿 谁取得最后一个谁败 规定甲先 取 甲乙的胜败情况如何 解 由于失败者最后只有一个球 在倒数 第二次取球时 球数必为 个或 个 因此 只要球数剩下 个 先取者必败 因此 当 时 甲必败 此时乙可采取如下策略 甲取 个 或 个 则乙接着取 个 或 个 保证余下的球是 的倍 加 轮轮如此 最终必出现只剩 个球的情形 而甲先取 故甲必败 当 或 时 甲先取 个 或 个 使留下来的球是 的倍 加 则乙代 中 等 数 学 替了上述情况中的甲 故乙必败 例 运动会开了 天 发出 个奖牌 第一天发出 个加上余下的 个的 第二天发出 个加上余下的 如此 继续 最后第 天恰好把余下的奖牌发完 问运动会开了几天 共发了多少奖牌 解 设运动会开了 天后剩下 个奖牌 则第 天发出的奖牌数为 即 由 得 因 与 互 质 故 运动会开了 天 共发了 个奖牌 淘汰法 又叫筛法 即从反面考虑将问题中不合 条件的情况从总体中淘汰出去 例 是否存在这样的质 它加上 和 时仍为质 若存在 能否求出它的个 数 解 用质数 等试验知 符合要求 下面用淘汰法证明除 以外 别无 质数满足要求 将自然数分成三类 是合数 是合数 因而形如 和形如 的数加 上 和 后不全是质数 在剩下的形如 的数中 显然除 以 外 当 时均为合数 故符合条件的质数只有 例 求曲线 上的整点 解 问题即求曲线上整点的坐标 显然 将整数 分为四类 用淘汰法进行讨论 当 时 当 时 当 时 当 时 当 为 和 时 均不是整数 故所求整点为 和 例 不能写成两个奇合数之和的最大 偶数是多少 解 首先证明大于 0的偶数 都可写 成两个奇合数之和 显然有 若 的个位为 则 若 的个位为 则 若 的 个位为 则 若 的个位为 则 若 的个位是0 则 年第 期 本文收稿日期 这里 为大于 的整数 其次求符合条件的最大偶数 在小于 的偶数中 去掉能分成两个奇 合数之和的偶数 个位数为 者 验算易知仅 合格 同理可知 个位数为 者 均合格 个位数为 者 仅 合格 个位数 为 者 仅 合格 个位 为 者 均合格 经淘汰 小于 的偶数中 符合条件的 最大偶数为 都不是两个奇合数之和 恒恒恒恒恒恒恒恒 恒恒恒恒恒恒 恒恒等等等等等等等等 等等等等等等 等等问问问问问问问问 问问问问问问 问问 题题题题题题题题 题题题题题题 题题 的的的的的的的 的的的的的的的 的的 题题题题题题题 题题题题题题题 题题型型型型型型型 型型型型型型型 型型与与与与与与与 与与与与与与与 与与 对对对对对对对 对对对对对对对 对对 策策策策策策策 策策策策策策策 策策 樊 东 方 浙江省上虞市东关中学 题中条件出现 恒 都 总 永远 一切 等关键词的试题 在高考和各地试卷 中屡屡亮相 我们习惯上称之为恒等问题 对 此类题 许多学生常常一筹莫展 但如果了解 它的题型 选择合适的对策 解决问题就会游 刃有余 等式问题 例 是否存在常数 使得等式 对于一切自然数 都成立 对策先用待定系数法探求 的 值 再利用数学归纳法证明等式对一切自然 数 都成立 解 令 可得 解得 以下用数学归纳法证明 等式 对一切自然数 都成立 证略 方程问题 例 已知曲线 的方程是 对于任意实数 曲线 恒过定点 求 定值 对策把 代入曲线方程 分离出 参数 后 视参数的系数为零 从而确定 解 把 代入曲线方程