（全国通用）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第五章 数列第6课时 数列的综合应用.doc

最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第五章数列第6课时数列的综合应用考情分析考点新知灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法.1. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量sn(万件)近似地满足关系式sn(21nn25)(n1，2，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是_答案：7、8解析：由sn解出an(n215n9)，再解不等式(n215n9)1.5，得6n9.2. 已知等差数列an的前n项和为sn，若a100a101，且a、b、c三点共线(该直线不过点o)，则s200_答案：100解析： a100a101且a、b、c三点共线(该直线不过点o)， a100a1011， s200100(a1a200)1001100.3. 设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_答案：解析：设a2t，则1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.4. 已知数列an，bn满足a11，且an、an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10_答案：64解析：依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532，又因为anan1bn，所以b10a10a1164.1. 形如an1an的线性递推关系，可用待定系数法；2. 形如an1anf(n)的递推关系，可用叠加法；3. 形如an1anf(n)的递推关系，可用叠乘法；4. 递推数列的求解方法还有倒数法、等价转化法、利用周期性等备课札记题型1子数列问题例1(2013南通模拟)设无穷数列an满足：n，anann2时，anan1，所以anan11anam(nm)，(mn)aan11aan1an11(an1)，即cn1cnan1an，由题设，1an1an，又an1an1，所以an1an1，即an是等差数列(2013泰州模拟)已知数列ann16，bn(1)n|n15|，其中nn*.(1) 求满足an1|bn|的所有正整数n的集合；(2) 若n16，求数列的最大值和最小值；(3) 记数列anbn的前n项和为sn，求所有满足s2ms2n(mn)的有序整数对(m，n)解：(1) an1|bn|，n15|n15|.当n15时，an1|bn|恒成立；当n16时，n取偶数时，1，当n18时，无最小值；n取奇数时，1，n17时，2，无最大值() 当n15时，bn(1)n(n15)，a2k1b2k1a2kb2k2(2k16)0，其中a15b15a16b160， s16s14，m7，n8.题型2递推数列问题例2(2013广东)设数列an的前n项和为sn.已知a11，an1n2n，nn*.(1) 求a2的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n，有.(1) 解： an1n2n，nn 当n1时，2a12s1a21a22.又a11， a24.(2) 解： an1n2n，nn 2snnan1n3n2nnan1， 当n2时，2sn1(n1)an，由，得2sn2sn1nan1(n1)ann(n1)， 2an2sn2sn1， 2annan1(n1)ann(n1)， 1， 数列是以首项为1，公差为1的等差数列 11(n1)n， ann2(n2)，当n1时，上式显然成立 ann2，nn*.(3) 证明：由(2)知，ann2，nn*， 当n1时，1， 原不等式成立 当n2时，1(n1)(n1)， ， 111()1， 当n3时， 原不等式亦成立综上，对一切正整数n，有.(2013无锡模拟)已知数列an中，a12，nn*，an0，数列an的前n项和为sn，且满足an1.(1) 求sn的通项公式；(2) 设bk是sn中的按从小到大顺序组成的整数数列 求b3； 存在n(nn*)，当nn时，使得在sn中，数列bk有且只有20项，求n的范围解：(1) an1sn1sn， (sn1sn)(sn1sn2)2；即(sn1)2(sn)22(sn1sn)2， (sn11)2(sn1)22，且(s11)21， (sn1)2是首项为1，公差为2的等差数列， sn1.(2) n1时，s1112b1，n5时，s5134b2，n13时，s13156b3. 2n1是奇数，sn1为有理数，则2k1， n2k22k1，当k20时，n761；当k21时，n841； 存在n761，840，当nn时，使得在sn中，数列bk有且只有20项题型3有关数列的证明题例3(2013江苏)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，sn是其前n项和记bn，nn*，其中c为实数(1) 若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：sn kn2sk(k，nn*)；(2) 若bn是等差数列，证明：c0.证明： an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，sn是其前n项和， snnad.(1) c0， bnad. b1，b2，b4成等比数列， bb1b4， a， add20， d0. d0， ad， d2a， snnadna2an2a， 左边snk(nk)2an2k2a，右边n2skn2k2a， 左边右边， 原式成立(2) bn是等差数列， 设公差为d1， bnb1(n1)d1代入bn，得b1(n1)d1， n3n2cd1nc(d1b1)对nn*恒成立， d1d. d0， d10.(2013江西理)正项数列an的前项和满足：s(n2n1)sn(n2n)0.(1) 求数列an的通项公式an；(2) 令bn，数列bn的前n项和为tn.证明：对于任意的nn*，都有tn0，snn2n. 于是a1s12，n2时，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n. 综上，数列an的通项an2n. (2) 证明：由于an2n，bn， 则bn. tn1(1).故对于任意的nn*，都有tna1a2an的最大正整数n的值为_答案：12解析：根据条件求得an2n6，则不等式化为2n12(*)，n，解得n，即1n12，将n13代入(*)式检验，经检验不成立，故最大正整数n的值为12.1. (2013徐州模拟)在数列an中，已知a12，a23，当n2时，an1是anan1的个位数，则a2 010_答案：4解析：由题意得，a3a1a26，定义f(x)x的个位数，则a4f(a3a2)8，依此类推，a58，a64，a72，a88，a96，a108，到此为止，看出一个周期，a9a3，a10a4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2 01022 008，2 00863344，所以a2 010a64.2. (2013扬州模拟)已知数列an满足a1a2ann2(nn*)(1) 求数列an的通项公式；(2) 对任意给定的kn*，是否存在p，rn*(kpr)使，成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由解：(1) 当n1时，a11；当n2，nn*时，a1a2an1(n1)2，所以ann2(n1)22n1；综上所述，an2n1(nn*)(2) 当k1时，若存在p，r使，成等差数列，则.因为p2，所以ar0与数列an为正数相矛盾，因此，当k1时不存在；当k2时，设akx，apy，arz，则，所以z.令y2x1，得zxyx(2x1)，此时akx2k1，apy2x12(2k1)1，所以p2k1，arz(2k1)(4k3)2(4k25k2)1，所以r4k25k2.综上所述，当k1时，不存在p，r；当k2时，存在p2k1，r4k25k2满足题设3. 设不等式组所表示的平面区域为dn，记dn内的整点个数为an(nn*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1) 求数列an的通项公式；(2) 记数列an的前n项和为sn，且tn.若对于一切的正整数n，总有tnm，求实数m的取值范围解：(1) 由x0，y0，3nnx0，得0x3. x1，或x2. dn内的整点在直线x1和x2上记直线ynx3n为l，l与直线x1、x2的交点的纵坐标分别为y1，y2.则y1n3n2n，y22n3nn. an3n(nn*)(2) sn3(123n)， tn， tn1tn， 当n3时，tntn1，且t11t2t3.于是t2，t3是数列tn中的最大项，故m.4. (2013徐州模拟)已知数列an，其前n项和为sn.(1) 若对任意的nn，a2n1，a2n1，a2n组成公差为4的等差数列，且a11，2 013，求n的值；(2) 若数列是公比为q(q1)的等比数列，a为常数，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.(1) 解：因为a2n1，a2n1，a2n组成公差为4的等差数列，所以a2n1a2n14，a2na2n18(nn*)，所以a1，a3，a5，a2n1，a2n1是公差为4的等差数列，且a2a4a6a2na1a3a2n18n.又因为a11，所以s2n2(a1a3a2n1)8n28n4n26n2n(2n3)，所以2n32 013，所以n1 005.(2) 证明：因为a(a1)qn1，所以sn(a1)qn1anaan，所以sn1(a1)qnan1aan1，得(a1)(1qn)an1a(a1)qn1an.() 充分性：因为q1，所以a0，q1，a1aq，代入式，得q(1qn)an1(1qn)an.因为q1，q1，所以，nn*，所以an为等比数列，() 必要性：设an的公比为q0，则由得(a1)(1qn)q0a(a1)qn1，整理得(a1)q0a(a1)qn，此式为关于n的恒等式，若q1，则左边0，右边1，矛盾；若q1，当且仅当时成立，所以q1.由()、()可知，数列an为等比数列的充要条件为q1.1. 数列的渗透力很强，它和函