（全国通用）高考数学 5.1 数列的概念与简单表示法练习.doc

课时提升作业(二十九)数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知sn是数列an的前n项和,sn+sn+1=an+1(nn*),则此数列是()a.递增数列b.递减数列c.常数列d.摆动数列【解析】选c.因为sn+sn+1=an+1,所以当n2时,sn-1+sn=an.两式相减得an+an+1=an+1-an,所以an=0(n2).当n=1时,a1+(a1+a2)=a2,所以a1=0,所以an=0(nn*),故选c.2.数列1,-58,715,-924,的一个通项公式是()a.an=(-1)n+12n-1n2+n(nn*)b.an=(-1)n-12n+1n2+3n(nn*)c.an=(-1)n+12n-1n2+2n(nn*)d.an=(-1)n-12n+1n2+2n(nn*)【解析】选d.观察数列an各项,可写成:313,-524,735,-946,故选d.3.(2015贵阳模拟)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()a.不是数列an中的项b.只是数列an中的第2项c.只是数列an中的第6项d.是数列an中的第2项和第6项【解析】选d.令an=3,即n2-8n+15=3,整理得n2-8n+12=0,解得n=2或n=6.4.(2015重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(nn*),则数列an的通项公式是()a.2n-1b.n+1nn-1c.n2d.n【解析】选d.因为an=n(an+1-an),所以an+1an=n+1n,所以an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=nn-1n-1n-2n-2n-332211=n.5.(2015北京模拟)已知an=13n,把数列an的各项排列成如下的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记a(m,n)表示第m行的第n个数,则a(10,12)=()a.1393b.1392c.1394d.13112【解析】选a.由题意知,前9行共有1+3+5+17=(1+17)92=81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为an=13n,所以a(10,12)=a93=1393.【加固训练】(2015盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826根据表中的规律,偶数2014应在第行第列.【解析】表中每一行4个数,因为都是偶数,所以201424=251余3,从表格可知奇数行从第2列开始,从小到大排列,偶数行从第一列开始,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:2522二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列an满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=.【解析】由an+2=an+1+an,得an+3=an+2+an+1=2an+1+an,即当n=2时a5=2a3+a2,当n=1时,a3=a2+a1,即a2=a3-a1,两式联立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,因为a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固训练】已知数列an对于任意p,qn*,有ap+aq=ap+q,若a1=19,则a36=()a.136b.19c.1d.4【解析】选d.因为ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.(2015天津模拟)若数列an中,a1=3,an+an-1=4(n2),则a2014的值为.【解析】因为a1=3,an+an-1=4(n2),所以a1=3,a2=1,a3=3,a4=1,显然当n是偶数时,an=1,所以a2014=1.答案:1【加固训练】(2015黄冈模拟)已知数列an,若a1=b(b0),an+1=-1an+1(nn*),则能使an=b成立的n的值可能是()a.14b.15c.16d.17【解析】选c.由已知得a1=b,a2=-1a1+1=-1b+1,a3=-1a2+1=-b+1b,a4=-1a3+1=b,a5=-1a4+1=-1b+1,a6=-1a5+1=-b+1b,所以数列an的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选c.8.(2015洛阳模拟)数列an中,a1=1,对于所有的n2,nn*,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=.【解析】由题意知:a1a2a3an-1=(n-1)2,所以an=nn-12(n2),所以a3+a5=322+542=6116.答案:6116三、解答题9.(10分)(2015广州模拟)设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,求数列an的通项公式.【解析】因为a1+3a2+32a3+3n-1an=n3则当n2时,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=n-13-得3n-1an=13,所以an=13n(n2).由题意知a1=13,符合上式,所以an=13n(nn*).【加固训练】1.已知a1+2a2+22a3+2n-1an=9-6n,则数列an的通项公式是.【解析】令sn=a1+2a2+22a3+2n-1an,则sn=9-6n,当n=1时,a1=s1=3;当n2时,2n-1an=sn-sn-1=-6,所以an=-32n-2,所以通项公式an=3,(n=1),-32n-2,(n2).答案:an=3,(n=1),-32n-2,(n2)2.若an=n2+n+3(其中为实常数),nn*,且数列an为单调递增数列,求实数的取值范围.【解析】因为an为单调递增数列,所以an+1an,即(n+1)2+(n+1)+3n2+n+3,化简为-2n-1对一切nn*都成立,所以-3.故实数的取值范围为(-3,+).【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是54,+,而通项公式是an=2n2-5n的数列an对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,一定要注意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.3.已知数列an的通项an=(n+1)1011n(nn*).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解题提示】要想判断一个数列有无最大项,可以判断数列的单调性,如果数列的前n项是递增的,从n+1项开始是递减的,则an(an+1)即为数列的最大项,故我们可以判断数列an+1-an的表达式,然后进行分类讨论,给出最终的结论.【解析】因为an+1-an=(n+2)1011n+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,所以当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an;故a1a2a3a11a12.所以数列an有最大项a9或a10,其值为1010119,其项数为9或10.(20分钟40分)1.(5分)(2015哈尔滨模拟)数列an定义如下:a1=1,当n2时,an=1+an2,n为偶数,1an-1,n为奇数,若an=14,则n的值等于()a.7b.8c.9d.10【解析】选c.因为a1=1,当n2时an=1+an2,n为偶数,1an-1,n为奇数,所以a2=1+a1=2,a3=1a2=12,a4=1+a2=3,a5=1a4=13,a6=1+a3=32,a7=1a6=23,a8=1+a4=4,a9=1a8=14,又已知an=14,所以n=9.2.(5分)(2015郑州模拟)对于数列an,“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的()a.必要不充分条件b.充分不必要条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.方法一:由an+1|an|(n=1,2,)知an从第二项起均为正项,且a1a2anan+1|an|(n=1,2,),如-2,-1,0,1,2,.所以“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件.方法二:因为an+1|an|(n=1,2,3,),所以若a10,则an0(n=1,2,3,),此时an+1an,数列an是递增数列.若a1an,数列an是递增数列.但是,数列an是递增数列,不能得到an+1|an|,如-3,-2,1,2,3,所以“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件.3.(5分)对于正项数列an,定义hn=na1+2a2+3a3+nan为an的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为hn=2n+2,则数列an的通项公式为.【解析】由hn=na1+2a2+3a3+nan可得a1+2a2+3a3+nan=nhn=n(n+2)2,当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(n-1)(n+1)2,-得nan=n(n+2)2-(n-1)(n+1)2=2n+12,所以an=2n+12n.又n=1时,由可得a1=32,也适合上式,所以数列an的通项公式为an=2n+12n.答案:an=2n+12n,nn*【加固训练】在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为.1【解析】由图可知,每行的第二个数构成一个数列an,a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,以上等式两边同时相加得an-a2=(2n-3+3)(n-2)2=n2-2n,故an=n2-2n+3(n2),所以a9=92-29+3=66.答案:664.(12分)数列an的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)对于nn*,都有an+1an,求实数k的取值范围.【解析】(1)由n2-5n+40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nn*,所以-k2-3.【加固训练】已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an0,an0,解得n6或n6(nn*)时,an0.令n2-n-300,解得0n6.所以当0n6(nn*)时,an0.(3)sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=n-122-3014,(nn*)知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a9,故sn存在最小值s5=s6,不存在最大值.5.(13分)(能力挑战题)设函数f(x)=log2x-logx2(0x1),数列an满足f(2