（全国通用）高考数学 7.7 立体几何中的向量方法(一)——证明空间中的位置关系练习.doc

课时提升作业(四十六)立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015天津模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则()a.lb.lc.ld.l与相交【解析】选b.因为n=-2a,所以an,即直线l的方向向量与平面的法向量共线,这说明了直线与平面垂直.【误区警示】本题易由an,误以为l,而误选a.2.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()a.2b.-4c.4d.-2【解题提示】等价于其法向量平行.【解析】选c.因为,所以1-2=2-4=-2k,所以k=4.【加固训练】若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()a.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)b.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)c.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)d.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选a.因为,所以n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项a正确.3.(2015锦州模拟)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为()a.-2b.-2c.2d.2【解析】选d.由已知得sn=0,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.4.(2015珠海模拟)如图所示,正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别在a1d,ac上,且a1e=23a1d,af=13ac,则()a.ef至多与a1d,ac之一垂直b.efa1d,efacc.ef与bd1相交d.ef与bd1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选b.以d点为坐标原点,以da,dc,dd1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则a1(1,0,1),d(0,0,0),a(1,0,0),c(0,1,0),e13,0,13,f23,13,0,b(1,1,0),d1(0,0,1),a1d=(-1,0,-1),ac=(-1,1,0),ef=13,13,-13,bd1=(-1,-1,1),ef=-13bd1,a1def=acef=0,从而efbd1,efa1d,efac.故选b.5.如图,正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直,以cd,cb,ce所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,ab=2,af=1,m在ef上,且am平面bde,则m点的坐标为()a.(1,1,1)b.23,23,1c.22,22,1d.24,24,1【解析】选c.由已知得a(2,2,0),b(0,2,0),d(2,0,0),e(0,0,1),设m(x,x,1).则am=(x-2,x-2,1),bd=(2,-2,0),be=(0,-2,1).设平面bde的一个法向量为n=(a,b,c).则即2a-2b=0,-2b+c=0.解得a=b,c=2b,令b=1,则n=(1,1,2).又am平面bde,所以nam=0.即2(x-2)+2=0,得x=22,所以m22,22,1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面和平面的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且,则x=.【解析】由,得ab.所以ab=x-2+6=0,解得x=-4.答案:-47.(2015兰州模拟)已知平面内的三点a(0,0,1),b(0,1,0),c(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面与的位置关系是.【解析】由已知得,ab=(0,1,-1),ac=(1,0,-1),设平面的一个法向量为m=(x,y,z),则得y-z=0,x-z=0.得x=z,y=z,令z=1,得m=(1,1,1).又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即mn,所以.答案:平行【方法技巧】平面的法向量的求法1.设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,e,f分别是棱bc,dd1上的点,如果b1e平面abf,则ce与df的和为.【解析】以d1a1,d1c1,d1d所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设ce=x,df=y,则易知e(x,1,1),b1(1,1,0),所以b1e=(x-1,0,1),又f(0,0,1-y),b(1,1,1),所以fb=(1,1,y),由于abb1e,故若b1e平面abf,只需fbb1e=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015四平模拟)如图,在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f,g分别为a1b1,b1c1,c1d1的中点.(1)求证:ag平面bef.(2)试在棱bb1上找一点m,使dm平面bef,并证明你的结论.【解析】(1)以d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(1,1,0),e1,12,1,f12,1,1,g0,12,1,因为ef=-12,12,0,bf=-12,0,1,而ag=-1,12,1,所以ag=ef+bf,故ag与平面bef共面,又因为ag不在平面bef内,所以ag平面bef.(2)设m(1,1,m),则dm=(1,1,m),由dmef=0,dmbf=0,所以-12+m=0m=12,所以m为棱bb1的中点时,dm平面bef.10.(2015泰安模拟)如图所示,在四棱锥p-abcd中,pc平面abcd,pc=2,在四边形abcd中,b=c=90,ab=4,cd=1,点m在pb上,pb=4pm,pb与平面abcd成30的角.(1)求证:cm平面pad.(2)求证:平面pab平面pad.【证明】以c为坐标原点,cb所在直线为x轴,cd所在直线为y轴,cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为pc平面abcd,所以pbc为pb与平面abcd所成的角,所以pbc=30.因为pc=2.所以bc=23,pb=4.所以d(0,1,0),b(23,0,0),a(23,4,0),p(0,0,2),m32,0,32,所以dp=(0,-1,2),da=(23,3,0),cm=32,0,32,(1)设n=(x,y,z)为平面pad的一个法向量,则即-y+2z=0,23x+3y=0,所以z=12y.x=-32y,令y=2,得n=(-3,2,1).因为ncm=-332+20+132=0,所以ncm,又cm平面pad,所以cm平面pad.(2)取ap的中点e,并连接be,则e(3,2,1),be=(-3,2,1),因为pb=ab,所以bepa.又beda=(-3,2,1)(23,3,0)=0,所以beda,则beda.因为pada=a,所以be平面pad,又因为be平面pab,所以平面pab平面pad.【加固训练】如图,在多面体abc-a1b1c1中,四边形a1abb1是正方形,ab=ac,bc=2ab,b1c112bc,二面角a1- ab- c是直二面角.求证:(1)a1b1平面aa1c.(2)ab1平面a1c1c.【证明】因为二面角a1-ab-c是直二面角,四边形a1abb1为正方形,所以aa1平面bac.又因为ab=ac,bc=2ab,所以cab=90,即caab,所以ab,ac,aa1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设ab=2,则a(0,0,0),b1(0,2,2),a1(0,0,2),c(2,0,0),c1(1,1,2).(1)a1b1=(0,2,0),a1a=(0,0,-2),ac=(2,0,0),设平面aa1c的一个法向量为n=(x,y,z),则即-2z=0,2x=0,即x=0,z=0.取y=1,则n=(0,1,0).所以a1b1=2n,即a1b1n.所以a1b1平面aa1c.(2)易知ab1=(0,2,2),a1c1=(1,1,0),a1c=(2,0,-2),设平面a1c1c的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则即x1+y1=0,2x1-2z1=0,令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以ab1m=01+2(-1)+21=0,所以ab1m.又ab1平面a1c1c,所以ab1平面a1c1c.(20分钟40分)1.(5分)平面经过三点a(-1,0,1),b(1,1,2),c(2,-1,0),则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()a.12,-1,-1b.(6,-2,-2)c.(4,2,2)d.(-1,1,4)【解析】选d.由已知得ab=(2,1,1),ac=(3,-1,-1),设平面的法向量为n=(x,y,z),则即2x+y+z=0,3x-y-z=0,解得x=0,y=-z.令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项a,b,c所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项d,(-1)0+11+(-1)4=-30,故选d.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选d.对于选项a,因为12,-1,-1=12(1,-2,-2)=12bc,所以选项a所对应的向量与平面平行,同理可知选项b,c所对应的向量均与平面平行,而对于选项d对应的向量与平面不平行,故选d.2.(5分)(2015太原模拟)如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=2a3,则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a.斜交b.平行c.垂直d.不能确定【解析】选b.分别以c1b1,c1d1,c1c所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为a1m=an=23a,所以ma,23a,a3,n23a,23a,a,所以mn=-a3,0,23a.又c1(0,0,0),d1(0,a,0),所以c1d1=(0,a,0),所以mnc1d1=0,所以mnc1d1.因为c1d1是平面bb1c1c的一个法向量,且mn平面bb1c1c,所以mn平面bb1c1c.【加固训练】如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=2,aa1=3,ad=22,p为c1d1的中点,m为bc的中点.则am与pm的位置关系为()a.平行b.异面c.垂直d.以上都不对【解析】选c.以d点为原点,分别以da,dc,dd1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,依题意,可得,d(0,0,0),p(0,1,3),c(0,2,0),a(22,0,0),m(2,2,0).所以pm=(2,2,0)-(0,1,3)=(2,1,-3),am=(2,2,0)-(22,0,0)=(-2,2,0),所以pmam=(2,1,-3)(-2,2,0)=0,即pmam,所以ampm.3.(5分)(2015成都模拟)空间中两个有一条公共边ad的正方形abcd与adef,设m,n分别是bd,ae的中点,给出如下命题:admn;mn平面cde;mnce;mn,ce异面.则所有的正确命题为.【解题提示】选ab,ad,af为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设ab=a,ad=b,af=c,则|a|=|c|且ab=cb=0.mn=an-am=12(b+c)-12(a+b)=12(c-a),mnad=12(c-a)b=12(cb-ab)=0,故admn,故正确;ce=c-a=2mn,故mnce,故mn平面cde,故正确;正确时一定不正确.答案:4.(12分)(2014辽宁高考)如图,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120,e,f分别为ac,dc的中点.(1)求证:efbc.(2)求二面角e-bf-c的正弦值.【解析】(1)如图,以点b为坐标原点,在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴,bc所在的直线为y轴,在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则b0,0,0,a0,-1,3,d3,-1,0,c0,2,0,从而e0,12,32,f32,12,0.所以ef=32,0,-32,bc=0,2,0,因此efbc=32,0,-320,2,0=0,所以efbc,即efbc.(2)平面bfc的一个法向量为n1=0,0,1,设平面bef的一个法向量为n2=x,y,z,又bf=32,12,0,be=0,12,32,则由得3x+y=0,y+3z=0,令z=1得x=1,y=-3,所以n2=1,-3,1,设二面角e-bf-c的大小为,则cos=15,所以sin=1-cos2=25,即所求二面角e-bf-c的正弦值为255.5.(13分)(能力挑战题)已知一个三角形的简易遮阳棚abc(如图),ac=bc=5,ab=6,其中a,b是地面上南北方向的两个定点,正西方向射出的太阳(用点o表示)光线ocd与地面成30,abd为光照遮阳棚产生的阴影.若点q为ab的中点.(1)求证:abqd.(2)试问:遮阳棚abc与地面所成的角为多大时,才能保证阴影abd的面积最大.(3)在(2)的条件下,在线段ac上是否存在一点m,使bm平面acd,若存在,求出=cmam的值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为ac=bc且aq=bq,所以abcq,又abcd,所以ab平面cqd,因为qd平面cqd,所以abqd.(2)方法一:过点c作chqd于h,由ab平面cqd得chab,所以ch平面abd,即cdq=30,由正弦定理得cqsin30=qdsinqcd,又cq=4,得qd=8sinqcd.当qcd=90时,qd取最大值为8,阴影abd的面积最大值为24,此时cqd=60,依题意cqd=60就是遮阳棚abc与地面所成的角.方法二:过点c作chqd于h,由ab平面cqd得chab,所以ch平面abd即cdq=30,过点h作射线hx平行ba作为x轴正半轴,射线hd,射线hc分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,设cqd=,依题意得q(0,-4cos,0),d(0,43sin,0),即qd=43sin+4cos=8sin(+30),当cqd=60时,qd取最大值为8,阴影abd的面积最大值为24,依题意cqd=60就是遮阳棚abc与地面所成的角.(3)方法一:由(2)知dccq,又cdab,得dc平面abc,所以过点b在平面abc内作bmac,得到dcbm,所以bm平面acd,所以abc中abqc=acbmbm=245,所以rtbma中得到am=185,所以cm=75,所以=cmam=718.方法二:过点h作射线hx平行ba作为x轴正半轴,射线hd、射线hc分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,依题意得a(3,-2,0),d(0,6,0),c(0,0,23),b(-3,-2,0),设平面acd的一个法向量为n=(x,y,z),由-6y+23z=0,-3x+8y=0n=(8,3,33),设am